Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Порядковые оценки наименьших квадратов для параметров расположения и масштаба

19.18 Одной из ситуаций, в которой (19.59) и (19.60) оказываются полезными, является оценивание параметров расположения и масштаба, исходя из порядковых статистик, т. е. выборочных наблюдений, упорядоченных по величине. Излагаемые ниже результаты принадлежат Ллойду (1952) и Даунтону (1953).

Как и раньше (см. 14.1), обозначают порядковые статистики, [лист, как обычно, — параметры расположения и масштаба, подлежащие оцениванию не обязательно являются средним значением и стандартным отклонением распределения). Введем также обозначение

Пусть

где вектор-столбец размерности с компонентами Поскольку z нормировано соотношением (19.61), то а и V не зависят от

Далее, из (19.61) и (19.62) получаем

где у — вектор с компонентами и 1 — вектор из единиц, и кроме того,

Мы можем теперь, применяя (19.59) и (19.60), найти НК-оценки для цист. Получаем

и

Далее,

где

Из (19.65) и (19.67) находим выражения для оценок

а из (19.66) и (19.67) — дисперсии и ковариацию этих оценок!

19.19 Поскольку положительно определены, то можно написать

так что для произвольного вектора имеем

где - есть элемент вектора Аналогично для вектора с получаем

где есть элемент Пользуясь неравенством Коши, находим

Полагая в (19.72)

получаем неравенство

Поскольку, как нетрудно проверить,

то (19.74) переписывается в виде

откуда, используя (19.70) и (19.68) и считая теперь дисперсией, получаем

Соотношение (19.76) довольно очевидно: выборочное среднее у, будучи линейной оценкой, не может иметь дисперсию меньшую, чем МД-оценка Приведенное выше доказательство, однако, позволяет нам определить условия, при которых (19.76) превращается в равенство. Это происходит, когда неравенство Коши (19.72) становится равенством, т. е. когда для некоторого постоянного К, или

Вследствие (19.73) это условие записывается в виде

или

Отсюда, используя (19.71), получаем окончательно следующее условие выполнения равенства

Если (19.78) выполнено, то в силу единственности решения уравнений метода НК получим

что можно проверить, применяя (19.78) к в (19.69).

19.20 В случае симметричного исходного распределения ситуация упрощается, так как компоненты вектора математических ожиданий

удовлетворяют условию

непосредственно вытекающему из (14.2). Следовательно,

и (19.69) принимает вид

а (19.70) упрощается следующим образом:

Таким образом, порядковые НК-оценки А и некоррелированы, если исходное распределение симметрично, — результат, аналогичный полученному в 18.34 для МП-оценок.

Пример 19.10

Оценить средину размаха (или среднее) и размах а прямоугольного распределения

Производя нормировку (19.61) и учитывая (14.2), легко показать, что

и что элементы матрицы рассеяния V величин равны

Обратная матрица для V имеет вид

откуда получаем

и, учитывая (19.84),

В силу (19.87) и (19.88) формулы (19.82) и (19.83) дают

За исключением поправки на смещение для результаты совпадают с теми, которые были получены в примере 18.12 методом МП. Этого, однако, следовало ожидать, так как и образуют пару совместно достаточных статистик для цист (пример 17.21).

19.21 Из примера 19.10 видно, что для использования теории, развитой в 19.18-20, мы должны определить матрицу рассеяния V нормированных порядковых статистик, зависящую от вида исходного распределения. Это является полной противоположностью теории НК, рассмотренной ранее в этой главе, в

которой не предполагается знания вида исходного распределения. В главе 32 мы возвратимся к рассмотрению свойств порядковых статистик, используемых для оценивания параметров.

Общая теория НК, развитая в этой главе, играет основную роль во многих разделах статистической теории, и мы будем неоднократно использовать полученные результаты в последующих главах.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление