Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Предположение нормальности

19.10 До сих пор мы не делали никаких предположений относительно распределений ошибок кроме условий (19.9) и (19.10), касающихся первых и вторых моментов. Замечательно, что нам не понадобилось никаких предположений о виде распределений ошибок: мы получили несмещенные оценки параметров и несмещенные оценки выборочных дисперсий и ковариаций этих оценок без предположений о распределениях ошибок. Однако при проверке гипотез относительно параметров такие предположения необходимы. Вопросы проверки гипотез в линейной модели будут рассмотрены в главе 24. Сейчас мы подчеркнем лишь наиболее важные аспекты возникающей здесь ситуации.

19.11 Если предположить, что распределены нормально, то из их некоррелированности будет следовать их независимость (см. 15.3), и тогда можно будет использовать утверждение пункта 15.11 о том, что идемпотентная квадратичная форма от независимых нормированных нормальных вариант имеет -распределение с числом степеней свободы, равным рангу

квадратичной формы. Применяя этот результат к сумме квадратов остатков (19.37), получим (в обозначениях (19.41)), что имеет -распределение с степенями свободы. Далее, имеем тождество

которое легко проверить, используя (19.12). Второе слагаемое в правой части (19.42) можно представить в виде

Из (19.43) следует, что если то

и тогда (19.42) можно переписать, используя (19.37) и (19.44), следующим образом:

В 19.9 было показано, что ранг первой матрицы в фигурных скобках в правой части (19.45) равен там же было установлено, что ранг второй матрицы в фигурных скобках в (19.45) равен Таким образом, ранги в правой части дают в сумме ранг левой части, и, следовательно, применима теорема Кокрэна (15.16), согласно которой две квадратичные формы в правой части (19.54) независимы и имеют распределения (после деления на в каждом случае) с степенями свободы.

19.12 Отметим, что величина в 19.11 распределена по закону при любом истинном значении 0, тогда как второе слагаемое в (19.42) имеет распределение только при В любом случае из (19.43), учитывая (19.9), получаем

В 19.9 было показано, что первое слагаемое в правой части равно Следовательно,

что превосходит если только не выполнено равенство которое возможно лишь при за исключением некоторых. специальных значений Таким образом, интуитивно

разумно использовать отношение статистика определенная формулой (19.41), всегда имеет математическое ожидание для проверки гипотезы Мы вернемся к более строгому обоснованию этой и подобных процедур в главе 24.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление