Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Оценивание дисперсии

19.9 Результат пункта 19.6 является первой частью утверждения, обычно называемого теоремой Гаусса о наименьших квадратах. Вторая часть теоремы, относится к оцениванию дисперсии по наблюдениям. Рассмотрим «остатки»

полученные при оценивании по методу НК (19.8) и (19.12), Члены с взаимно уничтожаются, и мы получаем

где единичная матрица порядка

Матрица в фигурных скобках в правой части (19.36) симметрична и идемпотентна, что легко проверить транспонированием и возведением ее в квадрат. Сумма квадратов остатков равна

Далее,

Таким образом, ввиду (19.10)

Используя (19.38), мы получаем из (19.37)

Меняя порядок матриц и X под знаком оператора следа и превращая тем самым произведение из матрицы в матрицу мы можем записать правую часть (19.39) в виде

откуда

Таким образом, несмещенная оценка для согласно (19.40) дается формулой

т. е. равна сумме квадратов остатков, деленной на число наблюдений минус число оцениваемых параметров.

Полученный результат позволяет строить несмещенные оценки для матриц рассеяния (19.16) и (19.26), подставляя в эти выражения вместо статистику определенную формулой (19.41).

Пример 19.7

Несмещенная оценка для в примерах 19.1 и 19.4 согласно (19.41) имеет вид

Следовательно, несмещенной оценкой для будет Пример 19.8

Несмещенная оценка для в примерах 19.2 и 19.5 согласно (19.41) равна

где

что сводится к случаю, рассмотренному в примерах 19.3 и 19.6, если положить

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление