Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Свойства оптимальности

19.6 Теперь мы покажем, что несмещенные линейные МД-оценки для любой системы линейных функций от параметров даются методом НК. Красивое доказательство этого факта имеется в работе Плэкетта (1949), посвященной истокам теории НК и вскрывающей основополагающую роль результатов Гаусса в этой области.

Пусть любой вектор оценок, линейных относительно наблюдений у, т. е. имеющий вид

Мы гребуем, чтобы оценка была несмещенной для некоторой системы линейных функций от параметров, скажем т. е. -известная матрица коэффициентов), что ввиду (19.8) дает

Отсюда, используя (19.9) и учитывая, что (19.18) должно выполняться при всех 0, получаем

(9.19) является необходимым и достаточным условием того, чтобы оценка Ту была несмещенной для

Поскольку ввиду (19.17), (19.8) и то матрицу рассеяния

учитывая (19.10), можно записать в виде

Нам надо минимизировать диагональные элементы в (19.21), являющиеся дисперсиями нашей системы оценок. Имеет место тождество

которое легко проверить, производя умножение в правой части, являющейся суммой двух слагаемых вида Каждое из этих

двух слагаемых имеет, следовательно, неотрицательные диагональные элементы. Однако только второе слагаемое в правой части (19.22) зависит от Поэтому диагональные элементы суммы будут минимальными, когда диагональные элементы второго слагаемого будут равны нулю. Это будет иметь место, если выполнено соотношение

Таким образом, в силу (19.17) и (19.23) несмещенный вектор МД-оценок для дается выражением

которое получается просто заменой на его НК-оценку (19.12), т. е.

В силу (19.21) и (19.23) матрица рассеяния этой оценки равна

Если (единичная матрица), т. е. оценивается сам вектор 0, то (19.24) и (19.26) сводятся соответственно к (19.12) и (19.16).

НК-оценки являются несмещенными МД-оценками в линейной модели в классе линейных функций от у, но могут не обладать этим свойством, если в качестве оценок допускаются также и нелинейные функции от у. Это зависит от распределения Если последние распределены нормально (и, следовательно, независимы), то НК-оценки сохраняют свое свойство и в классе всех оценок, поскольку они являются функциями от минимальной системы из достаточных статистик для параметра (см. 17.39). Андерсон (1962) показал, что если рассматриваются все возможные распределения то НК-оценки очень редко являются МД-оценками в классе всех оценок.

19.7 Поучительно, следуя Дёрбину и Кендаллу (1951), рассмотреть геометрический подход к свойству Здесь будет рассмотрен лишь иростейший случай, когда оценивается один параметр по выборке из наблюдений с одинаковыми средними и дисперсиями В этом случае что представляет собой равенство (19.8), в котором вектор-столбец размерности состоящий из единиц. Рассматриваются линейные оценки вида

(простейший частный случай формы (19.17)). Условие несмещенности (19.19) здесь имеет вид

Рассмотрим -мерное евклидово пространство, в котором каждому соответствует одна координата. Мы назовем это пространство пространством оценок. (19.28) является уравнением гиперплоскости в этом пространстве. Каждая точка этой гиперплоскости однозначно соответствует некоторой несмещенной оценке. Поскольку некоррелированы, из (19.27) получаем

т. е. дисперсия равна где О — начало координат пространства оценок. Отсюда сразу следует, что имеет МД, когда есть основание перпендикуляра к гиперплоскости, проведен ного из, О. Из соображений симметрии тогда все равны есть выборочное среднее у.

Рассмотрим теперь обычное -мерное выборочное пространство, в котором каждому соответствует одна координата. Билинейная форма (19.27) устанавливает двойственность между этим пространством и пространством оценок. При любом фиксированном точке в одном пространстве соответствует гиперплоскость в другом, тогда как при переменном точке в одном пространстве соответствует семейство параллельных гиперплоскостей в другом. Гиперплоскости (19.28) в пространстве оценок отвечает точка в выборочном пространстве, лежащая на векторе с равными компонентами. Если выходящий из начала вектор ортогонален гиперплоскости в одном пространстве, то соответствующие гиперплоскости и вектор ортогональны в другом пространстве.

Из сказанного вытекает, что несмещенная МД-оценка дается в выборочном пространстве гиперплоскостью, ортогональной к вектору с равными компонентами в точке Если выборочная точка, то мы опускаем перпендикуляр из на вектор с равными компонентами, чтобы найти т. е. минимизируем Тем самым мы минимизируем сумму квадратов в выборочном пространстве и, следовательно, минимизируем дисперсию (другую сумму квадратов) в пространстве оценок в силу двойственности, установленной между ними.

Крускал (1961) развивает полностью геометрический подход к теории НК.

19.8 Из результата, полученного в 19.6, сразу следует, что НК-оценка минимизирует значение обобщенной дисперсии

линейных оценок для 9. Это утверждение, принадлежащее Эйт-кину (1948), справедливо при любом объеме выборки, в отличие от эквивалентного асимптотического результата, доказанного в 18.28 для МП-оценок. Мы приводим здесь доказательство этого факта, принадлежащее Даниэлсу (1951, 1952).

Результат пункта 19.6 в случае оценивания одной линейной функции где С — вектор-строка размерности состоит в том, что

где -оценка, а и — любая другая линейная оценка для 0. Можно переписать (19.30) в виде

где V обозначает матрицу рассеяния матрицу рассеяния и.

Совершая действительное невырожденное преобразование

одновременно приводящее к диагональному виду, можно переписать (19.31) в виде

где матрицы в скобках диагональны. Выбирая затем соответствующим образом легко заметить, что ни один из элементов не может быть больше, чем соответствующий элемент Таким образом,

т. е.

или

что и требовалось доказать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление