Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Состоятельность

17.7 Увеличение точности с увеличением объема выборки является, конечно, очень желательным свойством оценки. В случае, когда дисперсия выборочного распределения оценки убывает с ростом для возрастания точности необходимо еще,

чтобы центральное значение этого распределения стремилось к 0, иначе оценка будет принимать значения, систематически отличающиеся от истинного. Поэтому первый критерий качества оценки может быть сформулирован следующим образом.

Оценка вычисленная на основании выборки объема называется состоятельной оценкой для в, если для любых сколь угодно малых положительных существует такое, что вероятность неравенства

больше для всех или, в обозначениях теории вероятностей,

Приведенное определение аналогично обычному определению сходимости числовой последовательности. Для любого наперед заданного числа можно найти такое достаточное большое число, что при любом объеме выборки, превышающем это число, вероятность того, что отличается от истинного значения больше чем на будет сколь угодно близка к нулю. Оценка называется в этом случае сходящейся по вероятности или стохастически к . Таким образом, оценка будет состоятельной оценкой для , если она сходится к по вероятности.

Пример 17.1

Выборочное среднее является состоятельной оценкой параметра генеральной совокупности (17.1). Это было установлено с помощью общих рассуждений, формальное же доказательство выглядело бы следующим образом.

Пусть в задано. Согласно распределено нормально с нулевым средним и единичной дисперсией. Следовательно, вероятность события равна значению нормального интеграла в пределах Для любого положительного всегда можно выбрать такое достаточно большое что это значение будет больше причем неравенство будет выполняться и для больших Таким образом, число требуемое в определении сходимости по вероятности, может быть найдено, и, следовательно, условие (17.7) будет выполнено.

Пример 17.2

Пусть имеется статистика со средним значением, отличающимся от членами порядка и с дисперсией порядка и пусть распределение стремится к нормальному при возрастании Тогда, как и в примере 17.1, будет

стремиться по вероятности к нулю и будет состоятельной оценкой для . Этот случай охватывает большинство статистик, встречающихся на практике.

Результат остается справедливым даже при неизвестном предельном распределении. Это непосредственно следует из неравенства Бьенэме — Чебышева (3.94). Действительно, если

где

то мы имеем

т. е. (17.7) будет выполнено.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление