Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Эффективность метода моментов

18.36 В главе 6 были рассмотрены распределения Пирсона. Однако в основном там изучались свойства самих генеральных совокупностей и не ставилось никаких вопросов относительно надежности оценок. Предположим теперь, что имеется выборка из генеральной совокупности. Обеспечивает ли подгонка моментов наиболее эффективные оценки неизвестных параметров? Сейчас мы увидим, что в общем случае это не так.

Пусть распределение зависит от четырех параметров. Для того чтобы МП-оценки этих параметров выражались в виде линейных функций от моментов (как при подгонке кривых Пирсона), мы должны иметь

откуда

где коэффициенты зависят от параметров Это наиболее общее представление распределений, для которых метод моментов дает МП-оценки. Коэффициенты конечно, подчинены условию, что интеграл от функции плотности сходится и равен единице.

Без потери общности можно положить Если, кроме того, и равны нулю, то распределение нормально и метод

моментов эффективен. В других случаях (18.111) приводит к распределению Пирсона только приближенно. Пусть, например,

При малых отсюда приближенно получается равенство

являющееся одной из форм уравнения, определяющего распределения Пирсона (см. (6.1)). На высокую эффективность метода моментов можно надеяться лишь при малых по сравнению с коэффициентах и

18.37 Детальное исследование эффективности моментов при оценке параметров распределения Пирсона было проведено Фишером (1921а). Мы приводим здесь лишь один результат в качестве иллюстрирующего примера.

Пример 18.18

Рассмотрим гамма-распределение с тремя параметрами а,

Функция правдоподобия записывается в виде

откуда получаем три уравнения правдоподобия:

Матрица (18.60), обратная к матрице рассеянияпараметров ее, имеет вид

Определитель этой матрицы равен

Отсюда находим дисперсии оценок:

Используя при больших разложение Стирлинга, получаем

откуда

Следовательно, ввиду (18.113) имеем приближенно

Если мы оцениваем параметры, приравнивая выборочные моменты и соответствующие моменты, выраженные через параметры, то получаем

так что при любых

где выборочное значение коэффициента асимметрии Имеем (см. 10.15)

Для рассматриваемого распределения это выражение принимает вид

Следовательно, учитывая (18.115), получаем для оценки

полученной по методу моментов,

Для больших эффективность этой оценки равна согласно (18.114)

что, очевидно, меньше 1. Когда превосходит эффективность превышает 80%. Для она равна 65%. Для более точное вычисление, основанное на таблицах тригамма-функции показывает, что эффективность равна всего лишь 22%.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление