Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Метод двойной выборки Стейна

34.36 В конце примера 23.7 мы видели, что при фиксированном не существует подобного критерия для среднего значения нормальной совокупности с неизвестной дисперсией который имел бы мощность, не зависящую от Отсюда следует (см. 23.26), что для нельзя найти доверительного интервала заранее заданной длины. Однако, как указал Стейн (1945), эти утверждения несправедливы, если мы используем последовательный метод.

34.37 Рассмотрим нормальную совокупность со средним и дисперсией Пусть нам требуется построить для доверительный интервал длины I с коэффициентом доверия . Мы сделаем сначала выборку фиксированного объема По, а затем выборку объема по, где теперь зависит от наблюдений в первой выборке.

Возьмем -статистику Стьюдента с степенями свободы, и пусть вероятность того, что она лежит в интервале от до равна . Положим

Пусть оценка дисперсии по выборке объема по, т. е.

Определим полагая

где означает целую часть числа

Рассмотрим все вместе наблюдений, и пусть их среднее значение равно Тогда не зависит от следовательно, не зависит от откуда вытекает, что величина распределена как степенями свободы. Таким образом,

или

или

Появление неравенства в (34.115) обусловлено граничным эффектом, так как может не быть целым. Граничный эффект, вообще говоря, мал, поэтому границы близки к точным границам для доверительного коэффициента . Фактически мы можем с помощью приема, предложенного Стенном, получить точные границы, хотя эта процедура связана с отбрасыванием наблюдений и, возможно, не представляет ценности для практики.

Силбайндер (1953) и Мошмэн (1958) рассматривали оптимальный выбор объема первой выборки в методе Стейна. Бхаттачарджи (1965) показал, что процедура Стейна более чувствительна к отклонению от нормальности, чем -критерий Стьюдента (см. 31.3), и что, как можно было ожидать, отклонение от нормальности вновь влечет зависимость длины интервала (и соответственно мощности критерия) от

34.38 Чепмэн (1950) обобщил метод Стейна на критерий для отношения средних значений двух нормальных величин. Этот критерий не зависит от обеих дисперсий. Однако он зависит от распределения разности двух величин для которого Чепмэн приводит некоторые таблицы. Д. Кокс (1952с) занимался задачей оценивания по двойной выборке и получил ряд асимптотических результатов. Он также рассмотрел поправки к результатам, относящимся к одинарным и двойным выборкам, улучшающие приближение, даваемое асимптотической теорией. А. Бирнбаум и Хили (1960) обсуждали общий класс процедур при двойной выборке, позволяющих достигнуть заданной дисперсии. Грейбилл и Коннелл (1964) приводят двойную выборочную процедуру для оценивания дисперсии нормального закона внутри фиксированного интервала. Голдмэн и Цайглер (1966) сравнивали различные методы оценивания среднего или дисперсии нормального распределения: для среднего метод Стейна оказался наилучшим.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление