Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Последовательный t-критерий

34.26 Критерий, предложенный Вальдом (1947) и в модифицированном виде другими авторами, служит для проверки гипотезы о среднем значении нормального распределения, когда дисперсия неизвестна. Он называется последовательным -критерием, потому что имеет дело с такой же задачей, как и -критерий Стьюдента в случае фиксированной выборки; но исключение зависимости от масштабного параметра и в нем происходит по-иному и его название, возможно, несколько вводит в заблуждение.

Говоря точнее, мы хотим проверить гипотезу о том, что по сравнению с некоторым значением отклонение мало, скажем Тогда три подобласти из 34.23 имеют следующий вид:

(см. скан)

Определим следующим образом весовые функции для а:

Тогда

Когда с стремится к бесконечности, предел отношения равен

Он зависит от наблюдаемых иксов, а также от заданных но не зависит от параметра а, который исключается в результате интегрирования с весовыми функциями (34.88) и (34.89). Если мы сможем вычислить интегралы в (34.92), то сможем использовать это отношение для получения последовательного критерия.

34.27 Весовые функции (34.88) и (34.89), выбранные на первый взгляд достаточно произвольно, на самом деле оптимизируют критерий. Чтобы это доказать, мы прежде всего установим, (а) что постоянна в что зависит только от и (в) что монотонно убывает относительно

Если выборочное среднее, а то распределение отношения зависит только от Если мы сможем показать, что (34.92) представляет собой однозначную функцию от то свойства (а) и (б) будут следовать немедленно, потому что равно, нулю в зависит только от распределения (34.92); Числитель и знаменатель в (34.92) являются однородными функциями от степени что можно проверить, подставляя Таким образом, отношение (34.92) имеет нулевую степень. Кроме того, оно является функцией

только от и следовательно, мы не изменим его, подставляя вместо Тогда данное отношение будет функцией только от и в действительности функцией от квадрата этой величины, а именно от

Оно является, следовательно, однозначной функцией от

Чтобы показать, что монотонно убывает по достаточно показать, что отношение (34.92) является строго возрастающей функцией от или, что эквивалентно, от При фиксированной — знаменатель в (34.92) фиксирован, а числитель является возрастающей функцией от Таким образом, все отношение возрастает по при фиксированной — и отсюда следует требуемый результат.

34.28 При этих условиях мы можем доказать, что последовательный -критерий оптимален. В самом деле, критерий оптимален, если постоянна в постоянна на границе при любом внутри не превосходит своих граничных значений.

Чтобы доказать это, предположим, что весовые функции, удовлетворяющие данным условиям, две другие весовые функции. Пусть ошибки для первого набора весовых функций, — для второго. Тогда имеем

и, следовательно,

Таким образом, в максимум больше, чем потому что интеграл от по этой области равен единице. Но если ошибка а, отвечающая постоянна в этой области, то ее максимум равен Следовательно,

Аналогично для Максимум достигается вне и не может превосходить тогда как для максимальное значение должно быть где-то достигнуто. Следовательно, Утверждение доказано. Условия, которые мы рассмотрели, достаточны, но отнюдь не необходимы.

34.29 Некоторые таблицы для пользования этим критерием были даны Армитеджем (1947). Интегралы, входящие в (34.92), выражаются через вырожденные гипергеометрические функции и, следовательно, через нецентральное -распределение. Tables to facilitate sequential t-Tests (U. S. A. National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 7, 1951) являются совместной работой нескольких авторов с введением К. Арнольда. См. также более поздние работы Армитеджа и других и недавнюю работу Майерса и др. (1966).

Иной метод решения предложен Д. Коксом (1952а, в случае, когда распределение системы достаточных статистик факторизуется, как в (23.118). Тогда обычным способом ПКОВ для 0; можно основать на статистике не зависящей от мешающего (часто масштабного) параметра Данный подход, кроме того, требует условия инвариантности (см. Холл и др. (1965)). В этом же направлении Хэджнэл (1961) развил последовательный -критерий, основанный на двойной выборке.

В случае большой выборки Д. Кокс (1963) предложил последовательный критерий для любой сложной гипотезы, основанный на теории МП (см. упражнение 34.21).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление