Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Эффективность последовательного критерия

34.22 В общем случае для заданных может быть получено много различных критериев. Нет смысла сравнивать их по мощности для данных объемов выборок, потому что они устроены так, чтобы иметь одинаковую -ошибку. Мы можем, однако, определить эффективность через объем выборки или СОВ. Критерий с меньшим СОВ разумно называть более эффективным. Следуя Вальду (1947), мы докажем, что если пренебречь граничными эффектами, то ПКОВ является наиболее эффективным. Точнее, если есть ПКОВ, а - некоторый другой критерий, основанный на сумме логарифмов одинаково распределенных величин, то

где обозначает среднее значение при гипотезе

Заметим прежде всего, что если — любая случайная величина, то есть ее отклонение от среднего и

Беря математические ожидания от обеих частей, получаем

откуда

Кроме того, для любого замкнутого последовательного критерия, основанного на суммах типа из (34.42) имеем

Пусть обозначает математическое ожидание, когда верна а математическое ожидание, когда верна Пренебрегая, как в (34.22), граничными эффектами, находим

и аналогично, как в (34.21),

Следовательно,

Тогда в силу (34.72), (34.74), и

а перестановка в (34.77) дает

Когда эти неравенства, как в (34.43), заменяются (если пренебрегать граничными эффектами) равенствами. Таким образом, (34.70) доказано.

Пример 34.10

Одним из преимуществ последовательного метода, как мы отмечали, является то, что при данных требуется в среднем меньшая выборка, чем для метода с фиксированным объемом. Трудно получить общие формулы сравнения двух методов, но можно проиллюстрировать указанный факт на задаче проверки гипотезы о среднем в нормальном распределении (пример 34.8).

При фиксированных и а критерий состоит в нахождении отклонения такого, что

Полагая

имеем

По данным определяется Сравним его с СОВ для ПКОВ. Беря приближенную формулу (34.43), которая записывается в виде

и учитывая, что

находим

Аналогично получаем

Таким образом, для имеем и . Отношение равно тогда Таким образом, в последовательном случае нам требуется в среднем либо 43, либо 55% от выборки фиксированного объема, требуемой для достижения таких же ошибок.

Следует подчеркнуть, что сокращение объема выборки в случае ПКОВ, вообще говоря, обнаружится только тогда, когда верна одна из гипотез и может не иметь места при других значениях параметра. Гарантированная экономия, следовательно, ограничивается случаями, когда конкурирующие гипотезы могут быть установлены заранее. См. Андерсон (1960).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление