Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ОХ последовательного критерия отношения вероятностей

34.14 Рассмотрим функцию

где зависит от 0. Функция есть функция плотности при любом значении 0, если только

Можно показать (см. упражнение 34.4), что существует не более одного ненулевого значения А, удовлетворяющего этому уравнению. Рассмотрим следующее правило: принимаем продолжаем выбор или принимаем согласно неравенству

Оно, очевидно, эквивалентно обычному правилу (34.18) при условии, что Рассмотрим проверку гипотезы Н: истинное распределение есть лротив альтернативы истинное распределение есть Если ошибки, а отношение правдоподобия таково, как в (34.33), то

и, следовательно,

Так как а есть функция мощности, когда выполняется Ни то ее дополнение, дается равенством

Такая же формула выполняется, если

Теперь мы можем найти критерия. Когда а когда Для других значений мы должны решить (34.32) относительно 9 и найденное значение затем подставить в (34.35). Но на самом деле, чтобы построить кривую оперативной характеристики в этом нет необходимости. Мы можем взять само в качестве параметра и строить зависимость (34.35) относительно него.

Пример 34.6

Рассмотрим еще раз биномиальный закон из предыдущего примера. Для дискретных значений 1 (успех) и (неудача) мы можем написать

Тогда (34.32) принимает вид

или

Из (34.35) при имеем

Мы можем теперь начертить относительно используя (34.36) и (34.37) как параметрические уравнения от h.

СОВ для последовательного критерия отношения правдоподобия

34.15 Рассмотрим последовательность из случайных величин Если бы было фиксировано, то мы получили бы

Для последовательного выбора это неверно, но взамен имеет место результат

который совсем не так очевиден, как кажется. Этот результат принадлежит Вальду и Блекуэллу (1946), а приводимое ниже доказательство предложено Джонсоном (1959b).

Пусть каждое имеет среднее и пусть вероятность того, что примет значение равна Введем «маркирующую» переменную которая равна единице, если наблюдалось (т. е. если и нулю в противном случае. Тогда

Пусть теперь Имеем

и конечно, если конечно. Кроме того, так как зависит только от и не зависит от то

Следовательно,

откуда вытекает (34.38).

Из последнего равенства находим

С принятой нами степенью аппроксимации выбор прекращается, когда принимает одно из двух значений: с вероятностью с вероятностью Таким образом,

что является приближенной формулой для среднего объема выборки.

Пример 34.4

В биномиальном случае получаем

СОВ может быть тогда вычислен по формуле (34.43), если заданы (или ). Он, конечно, зависит от

34.16 Для практически применений последовательная проверка качественных признаков часто представляется так, чтобы вычисления производились в целых числах. Неравенство (34.30) относится к рассматриваемому случаю. Мы можем переписать его в виде

Можно представить себе игру, в которой начальная сумма равна 220. Если произошла неудача, мы прибавляем единицу к этой сумме; если произошел успех, мы вычитаем 53 единицы. Игра прекращается, как только сумма падает до нуля или возрастает до 332, что отвечает принятию значений или соответственно.

34.17 В такой схеме предположим, что начальная сумма равна При каждой неудаче мы выигрываем единицу, а при каждом успехе теряем единиц. Если сумма возрастает на достигая значения (равного, скажем, 25), мы принимаем одну гипотезу; если она упадет до нуля, мы примем другую гипотезу. Пусть сумма в какой-либо точке равна х, а — вероятность того, что сумма достигнет значения не обращаясь до этого в нуль. Рассмотрим результат следующего испытания. Неудача увеличивает сумму до а успех уменьшает ее до Таким образом, имеем уравнение

с начальными условиями

При это уравнение легко решить, как в примере 34.2. При (мы предполагаем его целым) решение более громоздко. Мы приведем без доказательства решение, полученное Бермэном (1946):

где

Здесь ряд продолжается до тех пор, пока Бермэн нашел также выражения для СОВ и для дисперсии объема выборки.

34.18 Энскомб (1949а) табулировал функции этого вида. Положив

Энскомб табулировал при некоторых значениях ошибок (на самом деле и и отношения Им приведены также значения

Если заданы то мы можем найти в зависимости от значения отношения Так, для находим приближенно Кроме того, или Затем из (34.50) получаем Согласие с примером вполне удовлетворительное. СОВ для равен 253, а для он равен 306.

34.19 Поучительно рассмотреть, что происходит в пределе, когда единицы становятся малыми по сравнению с общей суммой На рис. 34.1 мы можем представить это как сжимание сетки таким образом, чтобы ступенчатые линии приближались к непрерывным случайным траекториям частиц, подвергающихся бесконечно малым возмущениям в двух взаимно перпендикулярных направлениях. С этой точки зрения данная задача связана с теорией броуновского движения и диффузии. Если разностный оператор, определенный соотношением

то мы можем написать уравнение (34.45) в виде

Для малых последнее почти эквивалентно уравнению

или

В пределе получаем

где

Общим решением уравнения (34.53) является

и, учитывая граничные условия имеем и

Таким образом, для вероятность принятия равна

34.20 Как и прежде, напишем и пусть стремится к нулю так, чтобы оставалось ограниченным. Из (34.54) видим, что X стремится к нулю, но

Тогда стремится к т. е. к если только и (34.56) превращается в

При стремящемся к нулю,

(34.58) можно сопоставить с формулой (34.37), которая для малых может быть записана в виде

34.21 Использование последовательных методов в контроле качества изделий привело к существенному развитию результатов такого типа, как в 34.17-18. У нас здесь нет возможности детально обсуждать указанные результаты, а читатель, который этим интересуется, должен обратиться к какому-нибудь руководству по контролю качества. Мы же просто приведем некоторые из обобщений предшествующей теории в качестве иллюстрации ее области применения.

(а) Правила остановки. Даже для замкнутых схем может быть желательным остановить выборку на некотором этапе. Например, обстоятельства могут препятствовать выбору после некоторого момента времени или в клинических испытаниях медицинская профессиональная этика может потребовать замены лекарства новым, выглядящим перспективно, прежде, чем его достоинства будут полностью установлены. Усечение последовательных схем может производиться различными способами, простейшие из которых состоят в остановке либо при достижении заданного объема выборки, либо по истечении данного времени. В таких случаях наши общие понятия оперативной характеристики и среднего объема выборки остаются без изменений, но математические и вычислительные детали обычно значительно усложняются. Армитедж (1957) рассматривал последовательный выбор при различных ограничениях.

(б) Обследование с заменой всех дефектных изделий годными. В схемах, которые мы рассматривали, гипотезы были таковы, что исследуемая партия или совокупность принималась или отвергалась при наличии определенной доли некоторого качественного признака. Если этот признак есть «дефектность», то мы можем предпочесть не отвергать партию в целом, а проверить каждый ее член и заменить дефектные. Это само по себе не влияет на общий характер схемы (решение отвергнуть заменяется решением исправить), но это оказывает, конечно, влияние на долю отказов во всей совокупности партий, к которым выборочный план применяется, и следовательно, воздействует на значение параметров, входящих в план. Указанная доля отказов во всей совокупности партий известна под названием среднего выходного уровня качества. Данная теория была изучена Бартки (1943).

(в) Двойная выборка. Развивая дальше эту идею, можно обнаружить, что ее выгоднее осуществлять в несколько этапов. Например, мы можем иметь четыре возможных решения: принять; отвергнуть; продолжать выборку; отложить суждение, но полностью проверить. Очевидно, здесь имеется большое разнообразие возможных действий. Превосходным примером является процедура двойной выборки Доджа и Ромига (1944). С этой идеей мы снова встретимся в 34.36.

Пример 34.4

Для нормального распределения с единичной дисперсией рассмотрим проверку гипотезы о среднем против Определяя как в (34.19), имеем

Мы принимаем или когда эта величина или соответственно. Для оперативной характеристики получаем из (34.35)

где находится из уравнения

которое, как легко видеть, эквивалентно уравнению

из которого следует

Вычисляя теперь из (34.64) для различных значений и подставляя его в (34.62), мы можем начертить кривую оперативной характеристики.

Аналогично, обращаясь к СОВ, имеем

Вновь для различных значений можно определить СОВ из равенств (34.62), (34.65) и

Пример 34.4

Предположим, что среднее нормального распределения известно и равно Проверим гипотезу о дисперсии против Получаем

Эта величина лежит между если

После некоторых преобразований находим, что это эквивалентно

OX и COB даны в упражнениях 34.18 и 34.19.

Если среднее неизвестно, критерий остается тем же самым, за исключением того, что статистика критерия заменяется на , а значение в неравенстве (34.69) заменяется на (от — 1).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление