Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Критерий отношения вероятностей Вальда

34.10 Предположим, что мы выбираем одно за другим значений из совокупности На любом этапе отношение вероятностей данной выборки для гипотез Но равно

С помощью способа, который будет описан позднее, выберем два числа соответствующих желаемым и -ошибкам, и установим следующий последовательный критерий: выбор продолжается, пока принимаем когда впервые принимаем когда впервые

Эквивалентной, но более удобной для вычислений функцией является логарифм Теперь критическое неравенство имеет вид

Такие критерии мы будем называть «последовательными критериями отношения вероятностей» (ПКОВ).

34.11 Нам часто будет удобно обозначать

Тогда критическое неравенство (34.18) будет эквивалентно утверждению относительно накопленных сумм Докажем прежде всего, что ПКОВ заканчивается с вероятностью единица, т. е. что он замкнут.

Выборка завершается, если

Случайные величины z независимы с дисперсиями, скажем, Тогда имеет дисперсию . С ростом дисперсия увеличивается и вероятность того, что значение остается между конечными пределами стремится к нулю. Более точно, распределение среднего z стремится, в силу центральной предельной теоремы, к (нормальному) распределению с дисперсией и следовательно, вероятность того, что это среднее попадет между стремится к нулю.

Стейн (1946) показал, что существует для любого комплексного числа действительная часть которого меньше некоторого Отсюда следует, что случайная величина имеет моменты всех порядков

Пример 34.4

Рассмотрим снова биномиальное распределение с вероятностью успеха . Если имеется успехов в первых испытаниях, то ПКОВ задается статистикой

Эту величину мы вычисляем, проводя выбор, который продолжается до тех пор, пока не достигнем граничных значений или Теперь покажем, как определяются числа

34.12 Замечательный факт состоит в том, что числа могут быть получены очень просто (по крайней мере с приемлемой точностью приближения) из вероятностей ошибок первого и второго рода без знания исходного распределения. Таким образом, не требуется решать задачи, связанные с распределением. Это не означает, что последовательный процесс является свободным от распределения. Зная распределение, мы подставляем его в критерий и далее обращаемся непосредственно с этим отношением правдоподобия. И неудивительно, что ПКОВ обладают определенными оптимальными свойствами, поскольку они используют всю имеющуюся в распоряжении информацию, включая порядок появления выборочных значений.

Рассмотрим выборку, для которой лежит между при первых испытаниях, а затем становится в испытании, так что мы принимаем (и отвергаем По определению вероятность получения такой выборки по крайней мере в раз больше при гипотезе чем при гипотезе Поскольку это верно для любой точки выборки, то это верно и для совокупности всевозможных выборок, ведущих к принятию Вероятность принятия когда выполняется равна а, а вероятность принятия , когда выполняется равна Следовательно, или

Подобным образом, рассматривая случаи, в которых принимается мы получим, что , или

34.13 Если бы наши границы были такими, что значения достигались бы точно, т. е. если бы не было граничного эффекта, то мы могли бы написать

В действительности Вальд показал, что для всех

практических целей можно предполагать эти равенства выполненными. Пусть

и пусть истинные ошибки первого и второго рода для границ равны Тогда из (34.21) имеем

а из (34.22)

Следовательно,

Кроме того,

или

На практике малы, чаще всего они равны 0,01 или 0,05. Из (34.27) и (34.28) следует, что величины, на которые а может превосходить а или может превосходить ничтожны. Более того, из (34.29) мы видим, что или или Следовательно, худшее, что может быть при использовании это увеличение одной из ошибок, и толишь на очень малую величину. Такая процедура поэтому будет всегда безопасна в том смысле, что для всех практических целей не происходит увеличения ошибок неправильного решения. Избегая утомительных повторений, мы будем впредь использовать равенства (34.23), если только не оговорено противное.

Пример 34.5

Рассмотрим снова биномиальный закон из примера 34.4 с Имеем для успехов и неудач (логарифмируя по основанию 10)

или

или Деля на 0,0088635, находим с точностью до ближайших целых;

Пользуясь таким критерием, мы, например, должны принять если не появилось неудачного исхода в первых 112 испытаниях. Если одна неудача произошла в испытании, а другая в то мы не можем принять решение прежде 220-го (т. е. испытания. И если в 200 испытаниях произошло 6 неудач, скажем в то мы также не можем отклонить гипотезу, так как равно 124 в 200 испытаниях; но если эксперимент был затем продолжен и величина превзошла , то мы должны принять

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление