Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Средний объем выборки

34.9 Второй функцией, используемой для характеристики последовательного критерия, является «средний объем выборки» Это есть математическое ожидание объема выборки требуемого для решения о принятии гипотезы Но или Ну и, следовательно, для прекращения выбора. для Но и Ну не зависит от объема выборки, а зависит только от постоянных, заданных выборочной схемой в самом начале, до выбора. СОВ измеряет объем наблюдений, требуемый при применении данной схемы.

Пример 34.3

Рассмотрим выборку из (большой) совокупности качественных признаков с долей успехов со, и пусть и мало. Нас интересует возможность того, что (о меньше некоторого заданного значения Такая задача часто встречается, например, в ситуации, где производитель некоторого изделия желает гарантировать, что доля отказов в партии изделий не превосходит некоторого фиксированного числа. Прежде всего рассмотрим альтернативу

Возьмем очень простую схему. Если успех не появляется, то мы продолжаем выбор до наперед заданного объема выборки и принимаем значение Если же, однако, появился успех, то мы принимаем и прекращаем работу.

Пусть является истинной вероятностью успеха. Тогда вероятность того, что мы примем гипотезу, равна Это есть Она представляет собой -образную кривую, монотонно убывающую от до Два наших конкретных значения даются просто ее ординатами в точках

Общий смысл ситуации требует, чтобы мы принимали меньшее из если успех не появился, и большее, если успех появился. Пусть меньшее число. Тогда вероятность ошибки первого рода а равна вероятность ошибки второго рода равна Если мы поменяем местами и то -ошибка будет -ошибка и они больше, чем в предыдущем случае.

В этом частном случае, используя можно получить критерий для проверки сложной гипотезы против

Действительно, если то вероятность -ошибки меньше, чем вероятность -ошибки меньше, чем

СОВ находится вычислением среднего значения объема выборки на котором мы остановимся. Очевидно, что для любого заданного оно равно

В данном случае СОВ также является убывающей функцией от так как он равен

Мы видим, что СОВ будет разным в зависимости от того, какое из значений или является истинным.

Для дискретных распределений трудно произвести сравнение результатов последовательной процедуры с результатами, относящимися к обыкновенной выборке фиксированного объема, особенно это касается сравнения ошибок первого и второго рода. Рассмотрим, однако, случай Из таблиц биномиального распределения (например, Biometrika Tables, таблица 37) мы видим, что вероятность 5 или более успехов равна приблизительно 0,18. Таким образом, основываясь на выборке фиксированного объема 30, мы можем отвергнуть значение с ошибкой первого рода 0,18. При альтернативном значении вероятность 4 или менее успехов равна 0,26, что и является ошибкой второго рода.

Для последовательного критерия с объемом выборки по ошибка первого рода равна ошибка второго рода равна При объеме выборки 2 ошибка первого рода равна 0,19, а ошибка второго рода равна 0,64. При объеме выборки 6 ошибки равны 0,47 и 0,26 соответственно. Ясно, что в этом простом примере мы не можем установить соответствие между двумя типами ошибок, но очевидно, что для достижения фиксированного уровня ошибки любого рода в последовательном случае потребуется меньший объем выборки. Пользуясь более гибкой последовательной схемой, мы можем обеспечить заданные уровни ошибок обоих родов при меньшем СОВ, чем в случае выборки фиксированного объема. На самом деле в малости среднего объема выборки и состоит одно из основных преимуществ последовательных методов (см. пример 34.10).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление