Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Оценка параметров сдвига и масштаба

18.33 Следуя Фишеру (1921а), можно использовать метод максимума правдоподобия для нахождения эффективных оценок параметров сдвига и масштаба для распределения любой заданной формы.

Рассмотрим функцию плотности вида

Параметр а называется параметром расположения (или параметром сдвига), а параметром масштаба. Перепишем (18.92) в виде

где

ФП для выборки объема имеет вид

Отсюда получаем уравнения правдоподобия

где В условиях регулярности решение (18.95) дает МП-оценки Предположим теперь, что для всех допустимых значений выполняются соотношения

Как и в случае (17.18), соотношения (18.96) выполняются, если можно в левой части дифференцировать под знаком интеграла. Можно переписать (18.96) следующим образом:

Вычислим теперь элементы матрицы (18.60), обратной к матрице рассеяния, считая справедливым соотношение

Из (18.95) следует (аргумент опущен)

Отсюда, учитывая (18.98), получаем

Кроме того,

или, вследствие (18.97),

Равенства (18.99) — (18.101) приводят к следующему выражению для матрицы (18.60):

Дисперсии и ковариации получаются обращением этой матрицы. Конечно, если оценивается отдельно, то дисперсия МП-оценки будет равна обратной величине соответствующего элемента главной диагонали матрицы

18.34 Если является четной функцией своего аргумента, т. е. распределение симметрично относительно а, то (18.102) упрощается. Действительно, в этом случае имеем

откуда следует, что внедиагональные элементы матрицы (18.102) равны нулю:

Таким образом, для симметричных распределений матрица (18.102) будет диагональной. Следовательно, МП-оценки параметров сдвига и масштаба любого симметричного распределения, удовлетворяющего нашим условиям регулярности, будут асимптотически некоррелированы и (поскольку они согласно 18.26 имеют асимптотически двумерное нормальное распределение) асимптотически независимы. Это относится, в частности, к нормальному распределению, для которого этот результат был получен в примере 18.13,

18.35 В случае несимметричных распределений внедиагональные элементы в (18.102) можно обратить в нуль простым изменением начала отсчета. Положим

Тогда

откуда

Таким образом, если начало отсчета определяется соотношением (18.105), то (18.102) становится диагональной матрицей и дисперсии оценок определяются просто как обратные величины диагональных элементов. Начало отсчета, при котором оценки некоррелированы, называется центром расположения распределения. Причиной выбора центра расположения в качестве начала отсчета служит то, что в случае применения итерационной процедуры оценки могут вычисляться отдельно.

Пример 18.17 Распределение

имеет область определения, зависящую от а. Однако это распределение и его первая производная по а равны нулю при для (см. упражнение 17.23), поэтому наши условия регулярности выполнены. В данном случае имеем

Следовательно, центр расположения, определяемый соотношением (18.105), равен

Матрица (18.102) имеет вид

откуда легко получить обратную ей матрицу рассеяния оценок

Если начало отсчета совпадает с центром расположения, то для некоррелированных оценок получим

Сравнивая (18.109) С (18.108) и (18.107), мы видим, что не изменяется при изменении начала отсчета, а совпадает с вычисленной для случая, когда оценивается один параметр а.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление