Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Пуассоновский критерий однородности

33.56 Посмотрим теперь, что происходит со статистикой (33.122), когда гипотетическое биномиальное распределение стремится к пуассоновскому в классическом смысле (см. 5.8), так что

В этом случае мы имеем с независимых наблюдений пуассоновской случайной величины Статистика (33.122) с вместо принимает вид

и распределена асимптотически как с степенями свободы (ср. 33.55). Если, как обычно, надо оценить X, то пользуются полной достаточной несмещенной оценкой являющейся средним с наблюдений. Таким образом, критерий однородности для с пуассоновских величин, основанный на статистике

имеет с — 1 степеней свободы. Одна степень свободы, как и в случае статистики (33.122), теряется в результате оценивания.

Критерии этого и предыдущего пунктов принадлежат Р. А. Фишеру и называются иногда дисперсионными критериями для биномиального и пуассоновского распределений. Основанием для этого служит то, что каждый из них основан на сумме с слагаемых, каждое из которых есть отношение квадрата варианты, центрированной относительно ее оцененного среднего, к ее дисперсии, — в случае (33.124) пуассоновские генеральные среднее и дисперсия равны, так что служит оценкой для обоих.

33.57 Кокрэн (1954) дает детальное изложение и библиографию для биномиального и пуассоновского дисперсионных критериев и особенно для разбиения степеней свободы в этих случаях.

Оказывается, в частности, что дисперсионная статистика (33.124) часто приводит к более мощному критерию для проверки гипотезы о том, что выборка извлечена из пуассоновской

совокупности, чем критерий согласия основанный на группировке наблюдений в соответствии с частотами появления значений Основной причиной этого служит то, что для пуассоновского распределения с малыми значениями параметра X наблюденные частоты ведут себя нерегулярно, начиная с некоторого значения, равного примерно 4 или 5, если X равно 1 или меньше (см. таблицу 5.3 и пример 19.11). Таким образом, если не слишком велико, критерий согласия может иметь лишь небольшое число степеней свободы (порядка 5), поскольку большие значения должны быть объединены в один класс, так как критерий можно применять только при достаточно больших гипотетических частотах (см. 30.30). Эти рассуждения не относятся к дисперсионному критерию, число степеней свободы которого равно (на единицу меньше числа наблюдений) и который не требует никакой группировки, — этот момент, возможно, не проявился отчетливо при построении критерия через посредство таблицы 2 X с, однако он непосредственно следует из (33.124). Таким образом, для «разумных» объемов выборок дисперсионный критерий будет, по-видимому, более мощным.

Поттхофф и Уиттннгхилл (1966а, b) приводят другие статистики для проверки однородности биномиальных, мультиномиальных и пуассоновских распределений.

Армитедж (1966) рассматривает моменты дисперсионного критерия в случае, когда выборка взята из расслоенной совокупности.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление