Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Стандартные ошибки коэффициентов и «хи-квадрат»

33.32 Коэффициенты связи являются монотонными функциями от поэтому их стандартные ошибки можно получить с помощью (10.14), исходя из стандартной ошибки Например, стандартная ошибка величины к которой (если пренебречь константами) сводятся (33.64) и (33.65), с точностью

до величин порядка равна

где генеральное значение т. е. значение (33.62), вычисленное исходя из частот генеральной совокупности. Очевидно, что первое приближение (33.67) справедливо только при т. е. оно не выполняется, если две категоризованные переменные независимы в генеральной совокупности. Причина этого в том, что выборочная величина стремится по вероятности к генеральному значению а поскольку то распределение имеет особенность, когда и его дисперсия имеет порядок (см. аналогичный результат, относящийся к квадрату коэффициента множественной корреляции, в 27.33). К счастью, мы можем не рассматривать случай независимости, поскольку тогда для критерия можно использовать непосредственно Если мы хотим оценить ненулевые генеральные коэффициенты выражаемые через формулами, аналогичными (33.64), (33.65), и найти стандартные ошибки оценок, то получим

Для коэффициента Пирсона (33.63) в случае независимости возникает аналогичная трудность, поскольку

так что мы можем написать лишь

Выражение (33.69), в отличие от (33.68), не может быть записано в терминах одного только генерального коэффициента

33.33 Согласно 33.32 для получения требуемых стандартных ошибок нам достаточно вычислить только дисперсию которая в случае зависимости имеет довольно сложный вид. Для таблицы с фиксированными маргинальными частотами она была вычислена К. Пирсоном (1915), а также (с большей точностью) Янгом и Пирсоном (1915, 1919), которые получили разложение до членов порядка Кондо (1929) дал разложения для среднего и дисперсии до порядка когда маргинальные частоты случайны, и показал, что в случае независимости

дисперсия имеет порядок . (Точная дисперсия в случае независимости вычислена Холдейном -частный случай его результата с формулирован в упражнении 33.9.) Формулы для дисперсии очень длинны, поэтому мы приведем только первое приближение, полученное К. Пирсоном (1915):

Если подставить (33.70) в (33.68), (33.69) и заменить на , то мы получим требуемые стандартные ошибки.

33.34 Сумма в правой части (33.70) отличается от определения только тем, что знаменатель возведен в квадрат. Если все маргинальные частоты возрастают с возрастанием то доминирующим слагаемым в правой части (33.70) будет среднее слагаемое в фигурных скобках, так что асимптотически можно оценивать дисперсию величиной Это можно понять и непосредственно. В условиях пункта асимптотически имеет нецентральное распределение (в данном случае степенями свободы и параметром нецентральности (30.62), где обозначают «независимые» частоты). Согласно упражнению 24.1 дисперсия такого распре деления равна

При больших первым членом в правой части можно пренебречь, второй же оценивается выражением

Таким образом, основное слагаемое в стандартной ошибке порождается асимптотическим нецентральным -распределением величины Полезно заметить, что параметр нецентральности X распределения оценивается самой величиной так что использование величины и ее стандартной ошибки эквивалентно нахождению приближенных границ для X. Балмер (1958) рассматривает доверительные границы для естественного параметра «удаленности».

Подстановка в (33.68) дает после упрощений приближения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление