Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Асимптотические критерии независимости в таблицах 2x2

33.15 Мы будем считать теперь, что наблюденные частоты в таблице получены в результате случайного выбора, и предположим, что в генеральной совокупности истинные вероятности, соответствующие частотам равны соответственно. Будем записывать эти вероятности в виде таблицы:

где и т. д. Предполагается, что выборка производится с возвращением (или, что то же самое, что генеральная совокупность бесконечна).

Таблицу (33.2) мы перепишем, используя симметричные обозначения:

Распределение выборочных частот дается мультиномиальным распределением с общим членом

Чтобы оценить найдем максимум правдоподобия по -при ограничении Если — множитель Лагранжа, то мы получаем

и аналогично для трех других вероятностей. Суммируя все уравнения, находим Оценки имеют вид

Это как раз то, чего следовало ожидать. Полученные оценки несмещены.

Известно, и мы этим уже пользовались в 33.8, что дисперсии и ковариации имеют вид

Это точные результаты. Мы также знаем (см. пример 15.3), что совместное распределение стремится к многомерному нормальному распределению с такими дисперсиями и ковариациями. Теперь мы можем также отметить, что асимптотическая многомерная нормальность следует из того факта, что полученные оценки являются МП-оценками и что они удовлетворяют условиям пункта 18.26.

33.16 Предположим теперь, что мы хотим проверить в таблице 2X2 гипотезу независимости

Эта гипотеза, разумеется, является сложной, с одним ограничением и двумя степенями свободы. Будем считать зависимыми переменными и выразим через них и

Если пренебречь константами, то логарифм функции правдоподобия, следовательно, равен

Чтобы оценить параметры, напишем уравнения

откуда находим МП-оценки, соответствующие гипотезе

Соотношения (33.37) приводят к аналогичным выражениям для Таким образом, вероятности оцениваются через произведения соответствующих маргинальных относительных частот. Это оправдывает определения связи путем сравнения с такими произведениями в

Подставляя найденные МП-оценки в ФП, получаем

тогда как безусловный максимум ФП достигается при подстановке оценок (33.35), что дает

Соотношения (33.41), (33.42) приводят к статистике критерия отношения правдоподобия

Вводя обозначения можно переписать (33.43) в виде

33.17 Из общего результата пункта 24.7 следует, что имеет асимптотически распределение с одной степенью свободы. Это легко показать следующим образом. Обозначая и разлагая до членов порядка для всех получим

(33.45) можно переписать в виде

Таким образом, мы для одного частного случая доказали асимптотическую эквивалентность критерия отношения правдоподобия и критерия согласия о которой мы говорили в 30.5. Равенство (33.46) можно было бы получить сразу, замечая, что сложной гипотезе соответствует набор гипотетических частот и что проверка независимости равнозначна проверке согласия наблюдений с этими гипотетическими частотами. Как и в 30.10, число степеней свободы равно числу классов (4) без единицы минус число оцениваемых параметров (2), т. е. единице.

Легко показать, что статистика определенная в (33.46), тождественно равна где V — мера связи, определенная в (33.12). Мы предоставляем читателю проверить это.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление