Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Неодинаковые исходные распределения

18.31 Мы уже довольно подробно изучили метод максимума правдоподобия, но касались пока лишь задач оценивания для наблюдений, полученных из одного и того же распределения. Теперь мы кратко рассмотрим поведение МП-оценок в случае, когда это условие не выполняется. Для этого мы должны заменить (18-1) более общей ФП

где различные сомножители могут зависеть от различных функций от системы параметров

В этой ситуации МП-оценки могут даже не быть состоятельными, а для одного класса случаев, когда число параметров возрастает с ростом числа наблюдений зависит от метод максимума правдоподобия может стать неэффективным. Следующие два примера служат этому иллюстрацией.

Пример 18.16

Пусть нормальная варианта со средним и дисперсией Функция правдоподобия (18.88) имеет

а уравнение

дает МП-оценку

Поскольку, однако, мы имеем только по одному наблюдению над каждым из различных нормальных распределений, то получаем также

Таким образом, при совместном оценивании оценки (18.89) и (18.90) приводят к абсурдному результату:

Мы не можем надеяться получить эффективной оценки для имея по одному наблюдению из каждого распределения: -совершенно бесполезная оценка.

Ситуация ненамного улучшится, если мы будем иметь по два наблюдения из каждого нормального распределения. В этом случае получим

Но так как

(ср. пример 17.3), то из (18.91) следует, что для всех

т. е. не состоятельна (см. Нейман и Скотт (1948)). Дело в том, что смещение МП-оценок при малых выборках (18.14) сохраняется в этом примере при возрастании в силу того, что число распределений также растет с ростом

Другие примеры подобного типа рассматривались в литературе в связи с приложениями, в которых они возникали. Нам они также встретятся в более поздних главах, в частности в главе 29. Сейчас же необходимо лишь подчеркнуть, что в нестандартных ситуациях требуется тщательное изучение свойств МП-оценок. Не следует предполагать, что асимптотические оптимальные свойства сохраняются во всех случаях. Например, МП-оценка может даже не существовать (см. упражнение 18.34) или может иметься несколько МП-оценок, некоторые из которых будут несостоятельными (см. упражнение 18.35).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление