Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Распределения, отличные от нормального

32.26 Один из немногих общих методов решения проблемы выпадающих наблюдений принадлежит Дарлингу (1952), который получил интегральную форму для х. ф. распределения статистики

где наблюдений суть независимые одинаково распределенные варианты с положительными значениями, распределение

которых полностью задано. В частных случаях эта х. ф. может быть обращена. Дарлинг далее подробно рассматривает случай 4 варианты, имеющей распределение Здесь мы рассмотрим только более простой случай равномерного распределения, в котором результат Дарлинга может быть получен непосредственно.

Предположим, что мы имеем наблюдения равномерно распределенные на интервале (0,0). Тогда мы знаем из 17.40, что наибольшее наблюдение есть достаточная статистика для 6, а из 23.12 — что есть полная достаточная статистика. Следовательно, согласно результату упражнения 23.7 любая статистика, распределение которой не зависит от 0, будет независима от Ясно, далее, что определенная в (32.44), имеет нулевую степень по 0. Таким образом, не зависит от и условное распределение при фиксированном такое же, что и безусловное (маргинальное) распределение. Но при фиксированном любое распределено равномерно на интервале ( Таким образом, при фиксированном имеет равномерное распределение на интервале и мы видим из (32.44), что распределено в точности, как сумма независимых случайных величин, распределенных равномерно на плюс постоянная Поскольку мы видели в примере 11.9, что распределение суммы независимых равномерных случайных величин стремится к нормальному (и ее распределение в самом деле близко к нормальному даже при распределена асимптотически нормально со средним и дисперсией, даваемыми точными выражениями

Малые значения (отвечающие большим значениям образуют критическую область для проверки гипотезы, что все наблюдения распределены одинаково, против альтернативы, что наибольшее из них происходит из «выпадающего» распределения.

32.27 Результат Дарлинга можно использовать для выявления выпадающего наблюдения при любом полностью заданном исходном распределении, сделав сначала вероятностное интегральное преобразование наблюдений (см. 30.36), приводящее задачу к равномерному распределению на Наименьшее наблюдение можно проверять аналогичным образом, беря дополнения до 1 этих равномерных величин и проверяя как раньше.

Басу (1965) рассматривает выпадающие наблюдения для экспоненциального распределения.

32.28 Мы должны теперь указать на возможность исполь зования свободных от распределения методов для решения задачи о выпадающих наблюдениях без конкретных предположений о распределениях. Ясно, что, если экстремальные наблюдения находятся под подозрением, это автоматически сводит на нет любую попытку использовать для этой задачи обычный двухвыборочный критерий, основанный на порядке рангов, какие рассматривались в главе 31. Однако если мы готовы предположить симметрию (непрерывного) исходного распределения, то мы в состоянии кое-что сделать, так как мы можем тогда сравнивать поведение наблюдений на подозреваемом «хвосте» наблюдаемого распределения с поведением на другом «хвосте», который, как мы предполагаем, ведет себя хорошо. Таким образом, при больших мы можем рассматривать абсолютные отклонения от выборочного среднего (или медианы) наибольших и наименьших наблюдений, ранжировать эти значений и применить критерий симметрии, чтобы решить, можно ли их считать однородными. Критерий будет приближенным, так как центр симметрии неизвестен и мы оцениваем его посредством выборочного среднего или медианы, но в остальном это просто применение критерия симметрии (см. 31.78-79) к хвостам распределения. Если достаточно велико, настолько велико, чтобы иметь возможность разумно выбрать размер критерия а, то эта процедура должна быть достаточно чувствительной для практических целей.

По существу аналогичные, но более сложные критерии того, следует ли считать группу из четырех или более наблюдений выпадающей, были предложены Уолшем (1950b).

32.29 Наконец, заметим, что свободные от распределения методы проверки гипотез и оценивания подвержены меньшему влиянию выпадающих наблюдений, чем методы, основанные на предположениях о распределении, так как они используют порядковые, а не метрические свойства наблюдений, как мы видели в главе 31.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление