Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Свободные от распределения толерантные интервалы

32.11 В 20.37 мы рассматривали задачу нахождения толерантных границ для нормальной ф. р. Предположим теперь, что нам нужно строить такие интервалы, не делая никаких предположений о форме распределения, помимо непрерывности. Нам требуется найти случайный интервал такой, что

где неизвестная непрерывная функция плотности. Не очевидно, что такая процедура, свободная от распределения, возможна, но Уилкс (1941, 1942) показал, что порядковые статистики дают свободные от распределения толерантные границы, а Роббинс (1944) показал, что это могут быть только порядковые статистики.

Если положить в соотношении (32.24), то мы можем переписать его в виде

Мы можем получить точное распределение случайной величины из (32.13) с помощью преобразования имеющего якобиан 1. Тогда (32.13) принимает вид

Проинтегрировав (32.26) по z по всей его области изменения получим для маргинального распределения у выражение

Положим тогда (32.27) преобразуется в

Таким образом, имеет бета-распределение первого рода. Если мы положим примем равным нулю (так что то (32.28) сведется к (14.1), где вместо написано

32.12 Из (32.28) мы видим, что (32.25) приводится к виду

что в терминах неполной бета-функции можно переписать как

Соотношение (32.30) для свободного от распределения толерантного интервала содержит пять величин: у (минимальная доля которую мы хотим накрыть), (вероятность, с которой мы желаем это сделать), объем выборки и положения порядковых статистик в выборке, Если заданы любые четыре из них, мы можем решить (32.20) относительно пятой. На практике обычно фиксированы как уровни, требуемые постановкой задачи, а выбираются симметрично, так что Тогда (32.30) сводится к

Левая часть монотонно возрастающая функция от и для любых фиксированных мы можем выбрать достаточно большим, чтобы выполнялось (32.31). На практике мы должны выбирать как ближайщее целое число,

превосходящее решение (32.31). Если так что используются экстремальные значения выборки, (32.31) сводится к

этим определяется вероятность с которой размах выборки из наблюдений покрывает по меньшей мере долю у распределения, из которого получена выборка.

Решение (32.20) (и его частных случаев (32.31), (32.32)) должно проводиться численно, с помощью таблиц Tables of the Incomplete Beta Function или, что равносильно, таблиц биномиальной ф. р. (см. 5.7). Мёрфи (1948) дает графики у как функции от для и они являются точными при и приближенными до

Пример 32.1

Рассмотрим численное решение уравнения (32.32) относительно Его можно переписать как

Для значений требуемых на практике (обычно 0,90 или больше), настолько велико, что можно записать (32.33) приближенно как

или

Производная левой части (32.35) по равна и при больших левая часть (32.35) монотонно убывает по Поэтому мы можем взять какое-нибудь пробное значение сравнить левую часть с (фиксированной) правой частью (32.35) и увеличить (уменьшить) если левая (правая) часть больше. Значение удовлетворяющее приближенно (32.35), будет больше того, которое удовлетворяет точному соотношению (32.33), поскольку из правой части последнего был выброшен положительный член и мы безопасно можем использовать (32.35) без уточнений, либо можем подставить в (32.33) и найти поправку, чтобы получить точное значение.

Пример 32.2

Проиллюстрируем пример 32.1 конкретным вычислением. Положим Тогда (32.35) переходит в

поскольку правая часть, очевидно, равна нулю при Мы можем пользоваться логарифмами по основанию 10, так как переход к натуральным логарифмам не меняет (32.35). Таким образом, нам нужно решить уравнение

Начнем с При этом значении левая часть отрицательна, поэтому мы уменьшаем до 500, тогда она становится положительной. Мы далее продвигаемся следующим образом.

(см. скан)

Подставим теперь значение в точное уравнение (32.33). Его правая часть равна

Левая часть этого равенства есть так что согласие хорошее, и мы для всех практических целей можем брать чтобы получить -процентный толерантный интервал для 99 процентов исходной ф.р.

32.13 Мы рассмотрели только простейший случай построения свободных от распределения толерантных интервалов для одномерного непрерывного распределения. Распространение на многомерные толерантные области, включая разрывный случай, было сделано в работах Вальда (1943b), Шеффе и Тьюки (1945), Тьюки (1947, 1948), Фрэзера и Уормлитона (1951), Фрэзера (1951, 1953) и Кемпермана (1956). Уилкс (1948) дает обзор результатов, имевшихся к тому времени. Уолш (1962) рассматривает симметричные непрерывные распределения. Гудмэн и Мадански (1962) рассмотрели свободные от параметра и свободные от распределения толерантные пределы для экспоненциального распределения.

Шеффе и Тьюки (1945) и Тьюки (1948) показали, что если исходное распределение дискретно, то приведенные выше толерантные интервалы и области имеют вероятность — а.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление