Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Свободные от распределения доверительные интервалы для квантилей

32.8 Совместное распределение порядковых статистик непосредственно зависит от ф.р. наблюдений (см., например, (14.1) и (14.2)), и, следовательно, точечная оценка квантилей распределения с помощью порядковых статистик не является свободной от распределения. Замечательно, однако, что пары порядковых статистик могут быть использованы для построения свободных от распределения доверительных интервалов для любой квантили распределения.

Рассмотрим пару порядковых статистик и в выборке из наблюдений из непрерывной Формула (14.2) дает для совместного распределения выражение

-квантиль распределения определяется равенством (32.1). Интервал может накрыть только если и вероятность этого события равна

где перзый интеграл относится к Это равно

и, поскольку можно переписать как

Значения двойных интегралов в (32.15) легко найти. В первом из них интегрирование по охватывает целиком его область изменения, и, следовательно, интеграл от 1 до берется от маргинального распределения которое согласно (14.1) равно

это бета-распределение первого рода, ф.р. которого есть просто неполная бета-функция. Следовательно,

Во втором двойном интеграле в (32.15) мы делаем подстановку с якобианом точно так же, как в и находим

и после интегрирования по и по всей его области от до 1 нам, как и прежде, остается проинтегрировать маргинальное распределение, на этот раз от до Таким образом,

Подставляя (32.16), (32.17) в (32.15), получаем

32.9 Мы видим из (32.18), что интервал покрывает квантиль с коэффициентом доверия, который вовсе не зависит от и мы, таким образом, имеем свободный от распределения доверительный интервал для Поскольку мы можем также записать коэффициент доверия как

Вследствие связи неполной бета-функции с биномиальным разложением, приведенной в 5.7, (32.18) можно выразить как

где Коэффициент доверия равен, следовательно, сумме членов бинома от до включительно.

Если выбирать пару симметрично расположенных порядковых статистик, то и мы получаем в (32.18) — (32.20)

так что коэффициент доверия есть сумма центральных членов биномиального разложения, в котором по членов с каждого конца опущены.

Для любых значений коэффициент доверия, отвечающий интервалу можно найти из (32.21), (32.22), пользуясь, если необходимо, таблицами Tables of the Incomplete Beta Function. Могут также быть использованы таблицы биномиального распределения, указанные в 5.7. Упражнение 32.4 предоставляет читателю возможность попрактиковаться в вычислениях.

Шеффе и Тьюки (1945) показали, что если распределение наблюдений дискретно, то указанные выше доверительные интервалы покрывают с вероятностью .

32.10 В частном случае медианы распределения формулы (32.21), (32.22) принимают особенно простой вид:

Эта процедура построения доверительного интервала для медианы была впервые предложена Томпсоном (1936).

Маккиннон (1964) дает таблицы для насколько возможно близких к 0,50, 0,10, 0,05, 0,02, 0,01 и 0,00). Нэйр (1940) дает аналогичные таблицы для , указывая точное значение а, которое бралось насколько возможно близким к 0,05 и

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление