Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Критерий знаков в симметричном случае

32.6 Функции мощности (32.6) и (32.7) выражаются через значение задаваемое альтернативной гипотезой. Если мы теперь желаем рассматривать эффективность критерия знаков в конкретных ситуациях, нам нужна дальнейшая конкретизация

распределения. Если мы вернемся к первоначальной формулировке гипотезы (32.2) и ограничимся случаем медианы которую будем обозначать то наша задача состоит в проверке гипотезы

Если функция распределения наблюдений, как и раньше, равна равна то мы имеем для значения

Предположим, что нас интересует относительная эффективность критерия знаков, когда известно, что симметрична, так что ее среднее и медиана совпадают. Мы можем в этой ситуации проверять гипотезу (32.8), пользуясь в качестве статистики критерия выборочным средним х. Если F имеет конечную дисперсию то х асимптотически нормально со средним и дисперсией и при больших выборках оно эквивалентно статистике Стьюдента

где - выборочная дисперсия. Для х мы имеем

так что

Для статистики критерия знаков нам будет удобно принять за начало отсчета, так что

и, следовательно,

Кроме того,

Таким образом, в первоначальной системе отсчета

Из (32.10), (32.11) и (25.27) находим, что эффективность критерия знаков равна

— результат, принадлежащий Питмэну.

32.7 Ясно, что (32.12) не имеет ненулевой нижней границы, как это было для АОЭ критериев Вилкоксона и Фишера — Иэйтса в главе 31, поскольку мы можем иметь для медианной ординаты нормальном случае так что (32.12) принимает значение Поскольку мы проверяем здесь симметрию относительно мы можем, как указано в 31.78, использовать критерий Вилкоксона, имеющий АОЭ, равную в нормальном случае и всегда превышающую 0,864. Таким образом, имеется мало оснований, за исключением простоты, чтобы рекомендовать пользоваться критерием знаков в качестве критерия симметрии относительно заданной медианы: в такой ситуации эффективнее проверять выборочное среднее. Критерий знаков полезен, когда мы хотим проверять гипотезу о медиане без предположения симметрии.

Диксон (1953b) табулирует эффективность мощности двустороннего критерия знаков в нормальном случае (и дает ссылки на раиние работы, в частности, Уолша). Он показывает, что относительная эффективность (т. е. обратная величина отношения объемов выборок, требуемых для критерия знаков и критерия Стыодеита для достижения одинаковой мощности при равных размерах критериев и против одних и тех же альтернатив, — см. 25.2) убывает при возрастании объема выборки, размера критерия или расстояния от 1/2.

Уиттинг (1960) использует разложение Эджворта до порядка и показывает, что эта аппроксимация второго порядка дает результаты для АОЭ, мало отличающиеся от (32.12).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление