Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 32. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ПОРЯДКОВЫХ СТАТИСТИК

32.1 В главе 31 мы нашли, что простые и чрезвычайно эффективные критерии перестановок для некоторых непараметрических гипотез могут быть получены путем использования рангов, отражающих соотношения порядка между наблюдениями. В настоящей главе мы сначала обсуждаем использование самих порядковых статистик для построения свободных от распределения процедур для непараметрических задач (5) и (6), перечисленных в 31.13. Затем мы рассматриваем применения порядковых статистик в других (параметрических) ситуациях. Напомним читателю, что общая теория распределений порядковых статистик была рассмотрена в главе 14 и что теория несмещенного оценивания с минимальной дисперсией параметров сдвига и масштаба посредством линейных функций от порядковых статистик была дана в главе 19. Очень полезный общий обзор литературы по порядковым статистикам был дан Уилксом (1948), обширную библиографию которого дополняет более поздняя библиография Ф. Дэвида и Джонсона (1956). Изложение многих разделов теории с обширными таблицами дается у Сархана и Гринберга (1962). Обзор теории «выборочных промежутков» (разностей между последовательными порядковыми статистиками) дается Пайком (1965).

Критерий знаков для квантилей

32.2 Так называемый критерий знаков для значения квантили непрерывного распределения был, по-видимому, первым из когда-либо использовавшихся свободных от распределения критериев, но современный интерес к нему берет начало с работы Кокрэна (1937).

Предположим, что ф. р. наблюдений есть и что

так что есть -квантиль этого распределения, т. е. значение, ниже которого лежит процентов распределения. Для любого значение есть характеристика положения распределения. Мы хотим проверить гипотезу

где некоторое заданное значение. (Если для удобства принять за начало отсчета, то мы хотим проверить равенство нулю.)

32.3 Если имеется выборка из наблюдений, то мы знаем что выборочная функция распределения будет сходиться по вероятности к ф. р. наблюдений. Отметим соотношение между порядковыми статистиками и гипотетическим значением подлежащим проверке. Сосчитаем, сколько наблюдений в выборке попадает ниже т. е. образуем статистику

где

Статистика 5 считает число положительных значений среди разностей и поэтому критерий, основанный на называется критерием знаков. Сразу видно, что имеет биномиальное распределение, поскольку 5 есть сумма независимых наблюдений над -случайной величиной с

Обозначим Гипотеза (32.2) сводится к

и мы просто проверяем гипотезу о биномиальном параметре Нас могут интересовать односторонние или двусторонние альтернативы к (32.4).

Если мы больше ничего не знаем относительно то интуитивно очевидно, что мы не можем получить ничего

лучшего, чем 5, в качестве статистики критерия, и мы находим из биномиальной теории (см. упражнение 22.2 и 23.31), что для односторонней альтернативы критическая область, состоящая из больших значений является РНМ, а для двусторонней альтернативы двусторонняя критическая область является РНМН.

В наиболее важном для практики случае, когда и мы проверяем медиану распределения, мы имеем для симметричное биномиальное распределение и РНМН критическая область против симметрична.

Формальное доказательство этих результатов данов книге Лемана (1959).

32.4 Таким образом, при малом объеме выборки таблицы биномиального распределения достаточны как для определения размера критерия знаков, так и для определения его мощности против любого конкретного альтернативного значения а следовательно, и его функции мощности для альтернатив или Когда возрастает, сходимость биномиального распределения к нормальному позволяет нам сказать, что имеет стандартное нормальное распределение. Если мы пользуемся поправкой на непрерывность, как в 31.80, то это сводится к замене на при выполнении критерия.

В случае медианы, когда мы проверяем гипотезу сходимость к нормальности настолько быстрая, что здесь, скорее всего, вовсе не потребуются специальные таблицы, поскольку нам нужно только сравнить значение

с подходящим стандартным нормальным отклонением. Кокрэн (1937) дает точные критические значения для и размера критерия Диксон и — для и 0,01, и Маккиннон (1964) — для

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление