Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Парный t-критерий

31.76 Предположим, что варианты имеют совместно нормальное распределение со средними и дисперсиями соответственно и коэффициентом корреляции Мы желаем проверить сложную гипотезу

на основе независимых наблюдений над Рассмотрим величину Она распределена нормально, со средним и дисперсией Мы имеем наблюдений над у и можем, следовательно, проверить с помощью обычного критерия Стьюдента для среднего, примененного к разностям Эта процедура применима и при когда независимые нормальные величины, и в этой ситуации критерий является частным случаем критерия, даваемого формулой (21.51) с

31.77 Теперь упростим пример из 31.76, полагая Совместное распределение тогда симметрично по с точностью, возможно, до их средних. Когда справедлива гипотеза Но, мы имеем полную симметрию. Мы можем, следовательно, записать (31.159) как

Это типичная гипотеза симметрии, которую можно формально представить в общем виде (31.158), записывая как произведение сомножителей (по одному для каждого наблюдения над

Мы теперь отказываемся от нормальной теории пункта 31.76 и ищем свободные от распределения методы проверки непараметрической гипотезы (31.160) для произвольной непрерывной Если взять, как и раньше, разности то мы видим, что Но влечет симметрию распределения у относительно точки 0, т. е. если то

Мы, таким образом, свели гипотезу (31.160) о симметрии двумерной ф. р, по ее аргументам к гипотезе (31.161) о симметрии одномерного распределения относительно заданной точки, нуля. Ясно, что эта гипотеза интересна и сама по себе (т. е. нас может просто интересовать симметрия отдельной варианты), и мы переходим к изложению проблемы в этой форме.

31.78 Гипотеза (31.161) означает, что любое наблюденное абсолютное значение имеет равные вероятности происходить от положительного или отрицательного значения у. Таким образом, имеется равновероятных выборок,

образующихся, если придавать каждому наблюденному поочередно знаки плюс и минус и объединять все любым возможным способом. Мы создаем основу для построения критерия перестановок, переставляя знаки, приписанные каждому и теперь нам нужно выбрать статистику критерия. Если мы рассмотрим альтернативу, что наблюдения нормальны со средним то найдем, как в 31.18 и 31.44, что наиболее мощный критерий перестановок основан на сумме наблюденных своими настоящими знаками, конечно). Мы отложим рассмотрение этого критерия (предложенного Фишером (1935а)), поскольку он является частным случаем дисперсионного анализа, который мы будем обсуждать в главе 37, том 3.

31.79 Фишеровский критерий симметрии эквивалентен использованию суммы по наблюденным положительным значениям (поскольку сумма всех одна и та же для каждой из перестановок). Для построения рангового критерия симметрии мы можем заменить наблюдения рангами и получить критерий симметрии Вилкоксона, основанный на сумме рангов величин взятой по положительным наблюденным значениям, или мы можем использовать эквивалент критерия соснованный на математических ожиданиях порядковых статистик из положительной половины нормального распределения. Эти три критерия симметрии при нормальных альтернативах сдвига имеют по сравнению с -критерием АОЭ, равные и 1 соответственно, точно так же, как и двухвыборочные критерии сдвига. При малых выборках оба ранговых критерия имеют высокую эффективность против нормальных альтернатив (Клоц (1963)); Клоц (1965) рассматривал и другую меру эффективности. Критерий симметрии Вилкоксона не сохраняет своей высокой мощности при некоторых не нормальных альтернативах (с «длинными хвостами»), но он все же лучше, чем критерий Стьюдента, хотя и хуже, чем критерий знаков (Арнольд (1965)), который будет рассмотрен в 32.6.

Мак Корнак (1965) приводит обширные таблицы критических значений для критерия симметрии Вилкоксона.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление