Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

k-выборочные критерии

31.70 Обобщение двухвыборочных критериев на задачу выборок (задача (2) в 31.13) не вызывает затруднений. На основе независимых выборок, состоящих из пр наблюдений где проверяется гипотеза, что непрерывных функций распределения одинаковы, т. е. гипотеза

В параметрической теории все предполагаются нормальными с одной и той же неизвестной дисперсией и различными средними так что

где не все равны между собой. Тогда (31.146) принимает вид

Критерий отношения правдоподобия для (31.148) в нормальном случае основан на статистике

есть среднее выборки, среднее всей выборки в целом), которая имеет распределение отношения дисперсий степенями свободы. Это следует непосредственно из общей теории отношения правдоподобия главы 24 и представляет собой простейший случай дисперсионного анализа, который мы будем рассматривать в томе 3. При получаем (см. 16.22 (7)), что

имеет асимптотически распределение степенями свободы.

Как показал Гейен (1949—1951), этот критерий чрезвычайно устойчив к отклонениям от нормальности, и общее обсуждение устойчивости процедур дисперсионного анализа будет проводиться в томе 3. Здесь мы рассмотрим только свободные от распределения заменители для критерия нормальной теории.

31.71 Поскольку (31.147) очевидно, является обобщением альтернативы сдвига (31.76) в случае двух выборок, естественно искать обобщения двухвыборочных критериев на к выборок. Мы рассмотрим два различных подхода к этой задаче. Во-первых, предположим, что мы просто заменили наблюдения х их рангами Статистика (31.149) тогда принимает вид

приводясь к статистике Вилкоксона, когда Крускал и Уоллис (1952, 1953) предложили статистику большие значения которой составляют критическую область. Они показали, что она имеет асимптотически распределение как и в параметрическом случае. При они табулировали ее точное распределение в окрестности критических значений для Крускал (1952) показал, что -критерий состоятелен против любой альтернативной гипотезы, при которой наблюдение из какого-нибудь из распределений имеет вероятность превзойти случайное наблюдение из к распределений, взятых вместе. Это обобщает условие состоятельности критерия Вилкоксона в 31.56.

Пури (1964) рассматривал статистику, полученную заменой наблюдений любым множеством условных чисел; он дал условия ее асимптотической нормальности и получил ее которая не зависит от к. В отношении критерия это означает, что его дается тем же выражением (31.115), что и для критерия Вилкоксона (см. Эндрюс (1954)), а анализ из применим без изменений к критерию II. Если вместо рангов используются нормальные метки, мы получаем обобщение критерия из (31.124), дается формулой (31.136) и согласно она не меньше 1, как и раньше.

31.72 В задаче двух выборок мы видели в 31.52, что при выводе статистики критерия было безразлично, заменять ли наблюдения рангами или считать число инверсий между выборками. В случае выборок это не одно и то же. Мы теперь рассмотрим подход, использующий инверсии, и увидим, что он приводит к статистике, отличной от из 31.71.

Предположим, что статистика из (31.98) вычисляется для каждой пары выборок, причем всего таких пар ;

обозначим через значение, полученное для выборок и положим

Мы теперь легко можем обобщить теорию из 31.53. Соотношение (31.100). заменяется на что приводит к соотношению между х. ф.

являющемуся аналогом (31.101). Для п. ф. с. U мы находим, соответственное

Семиинварианты равны, следовательно,

В частности,

31.73 Предельное распределение выводится так же, как в 31.55. Если так, что остаются ограниченными при всех то, обозначая через любое из пр или мы видим, что имеет самое большее порядок порядок Поэтому имеет порядок самое большее и стремится к нулю при всех так что асимптотически нормально со средним и дисперсией, даваемыми в (31.154), (31.155). Джонкхир (1954) показал, что если хотя бы два из к объемов выборок стремятся к бесконечности так, что остаются ограниченными, то распределение по-прежнему сходится к

нормальному — это можно понять из того, что есть сумма независимых) статистик Вилкоксона Еслиг объемов выборок, стремятся к бесконечности, то из будут стремиться к нормальности и преобладать в

Джонкхир (1954) табулировал точное распределение для выборок равных объемов Его таблица покрывает значения За этими пределами нормальное приближение удовлетворительно при равных объемах выборок. Даже при очень неравных объемах выборок нормальное приближение кажется удовлетворительным для практических целей, когда .

Терпстра (1952), предложивший -выборочный -критерий и получивший х. ф. и предельное распределение, приведенные выше, дал необходимые и достаточные условия для состоятельности критерия. Если вероятность того, что наблюдение из распределения превосходит наблюдение из равна (см. (31.51))

а взвешенная сумма равна

то условиями состоятельности (когда и ограничены при всех критерия, использующего большие значения в качестве критической области, будут: Они являются непосредственным обобщением условия (31.58) для состоятельности при проверке случайности против тренда вниз.

31.74 Насколько нам известно, эффективности -выбороч-ных критериев и 17 не сравнивались. Трудность здесь в том, что формы их предельных распределений различны; при фиксированном статистика имеет нецентральное распределение, асимптотически нормальное, когда справедлива гипотеза а также предположительно при общего вида альтернативах. Кажется правдоподобным, что -критерий будет действовать наилучшим образом, когда альтернативы имеют вид (31.147) с или в более общей ситуации, когда (31.147) заменяется на

(31.156) можно назвать упорядоченной альтернативной гипотезой. Бартоломью (1961) показал, что критерий асимптота

чески очень эффективен, когда расположены на равных расстояниях и все равны между собой. Критерий с другой стороны, кажется более эффективным против более общих классов альтернатив.

Хогг (1962) дает метод построения свободных от распределения -выборочных критериев из двухвыборочиых критериев.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление