Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Критерий, имеющий равномерно лучшую АОЭ по сравнению с критерием Стьюдента

31.63 Хотя, как мы видели в 31.59-62, критерий Вилкоксона имеет очень хорошие качества по сравнению с критерием Стьюдента, можно найти еще лучший. Возвращаясь к нашему обсуждению в 31.39, мы можем, очевидно, получить АОЭ, равную I, против нормальных альтернатив сдвига, используя статистику

(или, что эквивалентно, среднее первой выборки в которой наблюдения заменены математическими ожиданиями порядковых статистик в нормальных выборках, которые мы обозначим как и в 31.39. Статистика критерия тогда эквивалентна

где ранг наблюдения первой выборки среди наблюдений. (31.123) обычно называют статистикой нормальных меток или статистикой критерия Если мы положим

то мы можем переписать (31.123) как

Гёфдинг (1952) впервые показал, что -критерий имеет АОЭ 1 при нормальных альтернативах. Терри (1952) дал точное распределение для а Клоц (1964) получил критические значения для при гипотезе (31.74). Асимптотическая нормальность (и широкого класса аналогичных статистик) для любых, распределений когда отличен от и была доказана Черновым и Сэвиджем (1958). Ясно, что

указана в (31.133) ниже.

31.64 Для целей вычисления АОЭ с более удобно иное ее определение. Определим функцию распределения объединения исходных генеральных совокупностей

и ее выборочный аналог

где выборочные функции распределения,

определенные в (30.97). Если мы введем также функцию с помощью равенства

то можно определить в интегральной форме:

При мы имеем из (31.125), в то время как из (31.127) при слабых ограничениях (см. следует где функция стандартного нормального распределения. Таким образом, при имеем из (31.128) при условиях регулярности

Ван дер Варден (1952, 1953) предложил двухвыборочный критерий, в котором вместо используются числа асимптотически эквивалентный критерию (ср. (31.129)).

31.65 Если мы теперь рассмотрим альтернативы сдвига (31.76) и продифференцируем (31.129) по параметру сдвига 0, мы получим

Так как

мы имеем

Подставляя это в (31.130), находим

Поскольку при из (31.131) следует

При гипотезе дисперсия в силу (31.124) равна

Здесь случайными величинами являются только это величины, принимающие значение 1 с вероятностью , но они не независимый каждая пара имеет корреляцию вследствие симметрии. Таким образом,

и поскольку вследствие симметрии нормального распределения, то

Это точное выражение. Когда вследствие (31.73)

и

Таким образом, из (31.132) и (31.134) имеем

Пользуясь (25.27), получаем из (31.135) и (31.112), что АОЭ критерия по сравнению с критерием Стьюдента равна

В (31.136) мы положили нормировав Теперь мы будем искать минимальное значение (31.136).

31.66 Вспомним теперь, что в (31.136) определена как обратная функция к стандартной нормальной ф. р. Поэтому

Дифференцируя обе части и обозначая функцию плотности нормального распределения, имеем

так что

Из

так что мы имеем уравнение в дифференциалах

Равенство (31.138) дает также

и интеграл в квадратных скобках в (31.136), следовательно, равен

Чтобы минимизировать (31.136), нам нужно минимизировать (31.140) при условиях нормировки

Минимизация производится не выписанному явно аргументу функции в (31.140). Это эквивалентно минимизации по х как функции от Мы, следовательно, ищем монотонно неубывающую функцию которая минимизирует (31.140) при условиях (31.141).

31.67 Поскольку нормированного нормального распределения, то очевидно, что ограничения (31.141) удовлетворяются, когда

и в этом случае (31.140) равно 1. Согласно (31.139) это будет иметь место, когда т. е. когда нормальна.

Таким образом, мы проверили наше утверждение из 31.63 о том, что в нормальном случае критерий имеет АОЭ 1.

Чернов и Сзвидж (1958) показали, что (31.142) является в действительности единственным решением нашей задачи минимизации, т. е. что для любой отличной от нормальной, так что минимальная АОЭ критерия по сравнению с критерием равна 1. Мы приводим только эвристические рассуждения, ведущие к этому результату. Будем использовать представление

Если выполняется (31.141), мы имеем

и, следовательно,

причем равенство в (31.143) достигается тогда и только тогда, когда постоянна. В силу так что (31.143) обращается в равенство, только когда Этот случай, рассмотренный в (31.142), мы оставим в стороне. Мы хотим минимизировать выражение (31.140), равное

Предположим, что строго возрастает, так что Тогда, пользуясь упражнением 9.13, имеем, исключая вырожденный случай равенства,

Но из (31.143) следует при определенных условиях, что так как если имеют отрицательную ковариацию, то «средний наклон» должен быть отрицательным. Поэтому, если не равно тождественно нулю, то

и, следовательно, дает единственный минимум АОЭ.

Микульский (1963) показал при некоторых условиях регулярности, что никакое другое распределение, кроме нормального, не обладает этим замечательным свойством, что эффективность наилучшего рангового критерия по сравнению с наилучшим критерием для сдвига превышает единицу всегда, когда распределение наблюдений отличается от того, которое предполагалось при построении критериев.

Д. Кокс (1964) рассматривал аналогичные применения экспоненциальных меток, полученных в упражнении 19.11.

31.68 Из результата пунктов 31.63-67 следуют важные выводы. Критерий с 1 свободен от распределения (т. е. полностью устойчив), и по сравнению с критерием стандартной нормальной теории, основанным на статистике Стьюдента, устойчивость которого можно считать лишь достаточно хорошей, его

наименьшая АОЭ равна 1. Трудно поэтому найти подходящую ситуацию, когда было бы оправдано общепринятое использование критерия Стьюдента для проверки сдвига между двумя выборками, если объемы выборок достаточно велики. Критерий не имеет заметного преимущества (даже в нормальном случае, для которого он оптимален) при объемах выборки 4 или 5 с а, близким 0,05 (см. Клоц (1964)).

Применение критерия требует очень небольших затрат труда. Для этого нужно вычислить

и обратиться к таблице стандартного нормального распределения. В таблицах Фишера и Иэйтса даются значения для с четырьмя десятичными знаками и значения с двумя знаками. Хартер (1961а) приводит все с пятью десятичными знаками для и в дальнейшем стремится к 1, как видно из формулы, следующей за (31.133), так что этот множитель может быть опущен, и тогда нормированная статистика критерия сводится к

Ходжес и Леман (1963) показали, что из критериев Вилкоксона и нормальных меток могут быть получены устойчивые оценки, имеющие такие же эффективности, как критериев (см. также Хёйланд (1965)). Рамачандрамурти (1966) дает вид этих оценок, которые устойчивы к различию в масштабе и, следовательно, применимы для общей задачи о двух средних.

Прэтт (1964) изучал влияние неизвестного различия в масштабе на размер критериев Вилкоксона, нормальных меток, Стьюдента и других критериев сдвига. Асимптотически критерий Стьюдента заметно более устойчив лишь при очень близком к 1, и даже тогда его преимущество мало, если параметры масштаба отличаются не более чем в 2 раза.

31.69 Были предложены и другие критерии для задачи двух выборок, хотя теперь их несколько заслонили критерии Вилкоксона и Критерий Вальда и Волфовица (1940) (см. упражнение 30.8), основанный на числе серий, имеет то преимущество, что состоятелен против общих альтернатив (31.111), если отличен от или Смирнов (1939b) предложил критерий основанный на максимуме абсолютной разности между двумя эмпирическими функциями распределения, и показал, что

имеет то же предельное распределение (30.132), что и Сходимость эмпирических ф. р. к теоретическим обеспечивает состоятельность критерия против альтернатив (31.111). Нижняя граница для его мощности может быть получена точно так же, как для в 30.60, но критерий может быть смещенным (см. упражнение 30.16 для критерия

Леман (1951) предложил критерий, который, как он показал, всегда является несмещенным.

Хотя о мощности этих критериев известно довольно мало, ясно, что они менее эффективны против нормальных альтернатив сдвига. Действительно, показал, что критерий Вальда — Волфовица имеет АОЭ, равную нулю, против нормальных альтернатив различия в сдвиге или масштабе.

Альтернатива различия в масштабе

При которой мы проверяем эквивалентна альтернативе сдвига для логарифмов величин, если они неотрицательны. Но в общем случае нужно искать новые критерии против альтернатив (31.144). предложил критерий свободный от распределения, и показал, что в нормальном случае его АОЭ по сравнению с оптимальным критерием отношения дисперсий равна Для других распределений его АОЭ принимает значения от до Если (31.144) заменить более общей альтернативой

где неизвестные (мешающие) параметры сдвига, критерий Муда остается асимптотически свободным от распределения, если предварительно оцениваются выборочными медианами (см. Крауз (1964)).

Мы можем получить АОЭ, равную 1, против нормальных альтернатив, применяя критерий отношения дисперсий к нормальным меткам (см. Кейпон (1961), где использовйлась асимптотически эквивалентная статистика, определяемая формулой (31.123) с замененными их квадратами). Клоц (1962) использовал квадрат преобразования посредством обратной нормальной ф. р., что дает также асимптотически эквивалентный критерий (ср. критерий Ван дер Вардена в 31.64), и табулировал критические значения этой статистики для Рагхавачари (1965а, b) подтвердил, что АОЭ критерия Клоца изменяется от до в зависимости от F в (31.144), и показал, что его асимптотические свойства против (31.144) сохраняются и против (31.145), когда подходящим образом состоятельно оцениваются по выборкам, при условии, что F симметрична и достаточно регулярна.

Сиджел и Тьюки (1960) предложили критерий для различия в масштабе, имеющий то же самое -распределенне, что и критерий Вилкоксона (поскольку он использует совокупность рангов; приписываются наблюдениям в соответствии с их расстоянием от концов упорядоченного ряда), но его АОЭ равна лишь в нормальном случае, как показал Клоц (1962).

Ван Эден (1964) дает условия состоятельности этих и других масштабных критериев. Тамура (1963) показал, что против нормальных альтернатив масштаба АОЭ критерия Муда может быть повышена до 0,92 применением пятых степеней вместо квадратов в его определении и что для критерия,

эквивалентного критерию Сиджела — Тыоки, АОЭ может быть повышена до 0,96 использованием очень малых степеней рангов вместо самих рангов.

В работе Мозеса (1963) содержится общее обсуждение критериев различия в масштабе.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление