Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

АОЭ критерия Вилкоксона

31.59 Мы теперь ограничимся ситуацией сдвига (31.76) и найдем АОЭ критерия Вилкоксона по сравнению с -критерием Стьюдента (который является оптимальным критерием сдвига, если нормальное распределение), когда произвольная непрерывная ф.р. с конечной дисперсией.

Критерий Стьюдента, определенный в (31.89), как известно, асимптотически эквивалентен использованию статистики которая, какова бы ни была асимптотически нормальна со средним и дисперсиеи

Таким образом, мы имеем

Нам теперь нужно оценить аналог (31.112) для статистики Вилкоксона Из определения в (31.98) имеем

где вероятность того, что наблюдение из распределения превосходит наблюдение из распределения Пользуясь формулой (11.68) для ф.р. суммы двух случайных величин (с заменой в аргументе и перестановкой индексов 1, 2, чтобы получить ), находим

откуда

и

Соотношения (31.113) и (31.105) дают

Пользуясь (25.27), (31.112) и (31.114), имеем для АОЭ критерия Вилкоксона по сравнению с критерием Стьюдента

Этот результат принадлежит Питмэну (1948).

31.60 Чтобы вычислить (31.115), нам требуется лишь значение интеграла

Значение (31.116) легко находится для конкретных распределений.

Когда нормальна, мы имеем

Таким образом, из (31,115) в нормальном случае имеем

Этот результат не зависит от масштаба, как это и будет всегда, поскольку не зависит от масштаба. Поэтому мы всегда можем изменить масштаб в (31.115), если это удобно.

31.61 Легко видеть, что выражение (31.115) может принимать бесконечные значения (см. упражнение 31.18), Теперь нас интересует, существует ли ненулевой минимум, ниже которого оно не может попасть. Мы будем минимизировать при фиксированном которое можем принять равным единице.

Не теряя общности, примем также Таким образом, нам требуется минимизировать при условиях Пользуясь неопределенными множителями Лагранжа мы получаем, что это эквивалентно минимизации интеграла

Поскольку неотрицательна, (31.118) достигает минимума при таком выборе когда

(параболическое распределение). Определяя из условий

находим

откуда

Таким образом, из (31.121) и (31.115) АОЭ для распределения (31.119), (31.120) равна

31.62 Высокое значение (31.122) для минимума АОЭ критерия Вилкоксона по сравнению с критерием Стьюдента, которое было впервые получено Ходжесом и Леманом (1956), является хорошим свидетельством в пользу критерия . В практических терминах оно означает, что при больших выборках мы не можем потерять более 13,6% эффективности при использовании критерия Вилкоксона вместо критерия Стьюдента для альтернатив сдвига; с другой стороны, мы можем получить большой выигрыш (см. упражнение 31.18, из которого можно вывести, что для гамма-распределения с параметром Если распределение в действительности нормально, потеря эффективности составляет только около 5% согласно (31.117). Ван дер Ваарт (1950) показал, что если в нормальном случае рассматривать отношения производных функций мощности критериев Вилкоксона и Стьюдента, то их значения при очень небольших объемах выборок мало отличаются от асимптотических значений. Сандрум (1953) вычислил приближенные функции мощности в нормальном и равномерном случаях при которые подтверждают, в частности, в нормальном случае малость потери мощности, вызванной использованием критерия Вилкоксона вместо критерия Стьюдента. Диксон (1954) и Ходжес и Леман (1956) приводят некоторые результаты для малых выборок в нормальном случае, которые подтверждают это. Уиттинг (1960), используя разложение Эджворта до порядка показал, что значение (31.117) для АОЭ в нормальном случае сохраняется с большой точностью для объемов выборок от 4 до 40.

Чанда (1963) иашел высокую АОЭ даже для дискретных генеральных совокупностей. Нётер (1967) показал, что критерий и основанные на нем доверительные интервалы консервативны для дискретных генеральных совокупностей. Хейнзм и Говиндараджулу (1966) приводят точные вычисления мощности в экспоненциальном и равномерном случаях.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление