Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Состоятельность и несмещенность критерия Вилкоксона

31.56 Из приведенного в 31.50 доказательства состоятельности -критерия, который переходит в критерий Вилкоксона, когда значения варианты заменяются рангами, следует, что критерий Вилкоксона состоятелен против альтернатив, при которых распределения наблюдений порождают различные средние ранги в своих выборках. Ясно, что это произойдет тогда и только тогда, когда вероятность того, что наблюдение из превосходит наблюдение из отлична от 1/2. Этот результат, полученный Питмзном (1948) и независимо более поздними авторами, может быть доказан непосредственно, как указано в упражнении 31.16.

31.57 Если мы рассмотрим одностороннюю альтернативную гипотезу, что распределение второй выборки «стохастически больше», т. е.

то нетрудно доказать, что односторонние критерии Питмэна и Вилкоксона являются несмещенными против (31.108). На самом деле Леман (1951) доказал несмещенность любой подобной критической области для проверки гипотезы (31.74) против (31.108), удовлетворяющей интуитивно желательному условию что

при увеличении величины любого элемента второй выборки выборочная точка остается в критической области. Для любой пары определим функцию равенством

так что из (31.108) следует

Рассмотрим теперь две выборки, в которых элементов второй выборки преобразованы из а первая выборка оставлена без изменений. Мы видим из (31.109), что если преобразованные выборки подчиняются распределениям то до преобразования их распределения были одинаковы. Если теперь область в преобразованном выборочном пространстве имеет вероятность то неравенство (31.110) и условие принятое выше, обеспечивают нам, что в непреобразованном выборочном пространстве ее вероятность будет а Поскольку а есть размер критерия над непреобразованными величинами, его мощность против (31.108), то мы видим, что критерий несмещен.

Условию очевидно, удовлетворяют односторонние критерии Питмзна и Вилкоксона.

31.58 Если мы теперь рассмотрим общую двустороннюю альтернативную гипотезу

или даже более ограниченную альтернативу сдвига (31.76) с любым возможным знаком 0, то критерий Вилкоксона, вообще говоря, уже не будет несмещенным. Для альтернатив сдвига Ван дер Ваарт (1950, 1953) показал, что если или общая функция плотности симметрична относительно некоторого значения (не обязательно 0), то первая производная функции мощности, если она существует, равна нулю при но даже в этом случае критерий может не быть несмещенным.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление