Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Случай совместной достаточности

18.23 Точно так же, как и в 18.4, в случае существования для параметров системы из совместно достаточных статистик МП-оценки будут функциями этих статистик. Как и раньше, это немедленно следует из факторизации (см. (17.84))

в силу того, что не содержит

Однако МП-оценки не обязаны быть взаимно однозначными функциями от достаточной системы статистик и, следовательно, сами могут не составлять достаточную систему. В примере 18.5 мы уже встретились со случаем, когда МП-оценка единственного параметра была функцией только от одной из двух совместно достаточных статистик (одномерной достаточной статистики в этом примере не существовало).

18.24 Единственность решения уравнения правдоподобия в случае достаточности (18.5) обобщается, как показал Хузурбазар (1949), на многопараметрический случай, если В условиях регулярности наиболее общей форме распределения, допускающего систему из достаточных статистик (17.86), соответствует ФП, логарифм которой равен

где вместо написано 0, а может быть вектором. Уравнения правдоподобия имеют, следовательно, вид

Решение этого уравнения дает максимум, если неотрицательно определена матрица

Из (17.18) имеем

Кроме того,

Очевидно, (18.53) и (18.54) имеют точно такую же структуру, как (18.51) и (18.52), с той лишь разницей, что сумма заменена ее математическим ожиданием, а истинным значением 0. Если мы исключим из (18.52), используя (18.51), и заменим на 0, то мы получим такой же результат, как если бы мы исключали из (18.54), используя (18.53). Таким образом, имеем

что является обобщением (18.35). Кроме того, из (17.19) получаем

и, аналогично,

Мы видим, что матрица

отрицательно или неположительно определена, так как матрица в правой части (18.58) есть матрица рассеяния вариант Матрица рассеяния любых вариант неотрицательно определена, поскольку

где — вектор произвольных переменных. Итак, матрица рассеяния неотрицательно определена. Если мы исключим линейные зависимости между переменными, она станет положительно определенной, а матрица в левой части -отрицательно определенной. Следовательно, согласно (18.55) матрица

также отрицательно определена, и поэтому любое решение (18.51) соответствует максимуму. Но в условиях регулярности между любыми двумя максимумами должен находиться минимум. Поскольку нет ни одного минимума, то может иметься только один максимум. Таким образом, в условиях регулярности из совместной достаточности следует, что уравнение правдоподобия имеет единственное решение и что это решение соответствует максимуму ФП.

Пример 18.11

В примере 17.17 мы видели, что выборочные среднее и дисперсия одномерного нормального распределения совместно достаточны для генерального среднего и генеральной дисперсии Из 18.23 следует, что МП-оценки должны быть функциями от Можно непосредственно проверить, что сами являются МП-оценками. ФП дается выражением

Следовательно, уравнения правдоподобия имеют вид

Их решениями будут

В то время как несмещенная оценка, смещена и имеет математическое ожидание Как и в однопараметрическом случае (18.14), МП-оценки не обязаны быть несмещенными.

18.25 Насколько нам известно, не имеется какого-либо общего исследования единственности МП-оценок при наличии достаточных статистик для случая, когда пределы области определения распределения зависят от нескольких параметров. Однако если статистики как совместно, так и индивидуально достаточны для параметров, от которых зависят эти пределы, то результаты, полученные в 18.6 для однопараметрического случая, очевидным образом, сохраняются. Это иллюстрируется следующим примером.

Пример 18.12

В примере 17.21 было показано, что для распределения

крайние наблюдения совместно достаточны для Ясно, что в этом случае МП-оценки

являются единственными, которые максимизируют ФП. Такой результат будет всегда, когда границы интервала, на котором сосредоточено распределение, зависят от разных параметров.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление