Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Распределение статистики критерия Вилкоксона

31.53 Мы приступаем к нахождению распределения статистики когда справедлива гипотеза (31.74). Мы можем получить ее х. ф. непосредственно из х. ф. статистики даваемой в (31.28). Потому что основана на — 1) возможных сравнениях между наблюдениями, тогда как основана на сравнениях между первыми и вторыми из них, при этом —1) «внутренних» сравнений для первой выборки и для второй выборки исключаются. Мы можем за писать это соотношение символически как

Поскольку при гипотезе Но компоненты в правой части (31.100) взаимно независимы, мы имеем соотношение между характеристическими функциями (см. 7.18)

где первые три х. ф. суть при объемах выборок, указываемых индексами при Таким образом,

После логарифмирования получаем для

где определено соотношением (31.30). Подставляя его в правую часть (31.102), находим

Семиинварианты равны, следовательно,

В частности, мы находим

Соотношение (31.104) показывает, что распределение симметрично, каковы бы ни были значения и Вследствие (31.99) распределение 5 имеет те же семиинварианты, за исключением того, что ее среднее равно

31.54 Точное распределение или может быть легко получено из соотношения между производящими функциями частот, аналогичного (31.101),

где для для полученная в 31.25. Подставляя ее значение из (31.27), находим

Коэффициент при во втором сомножителе в правой части (31.106) равен числу способов, которыми можно выбрать из первых натуральных чисел так, чтобы их сумма была равна Мы обозначим это число через накопленную сумму таких чисел — через

Функция была табулирована Эйлером более двух веков назад. Фнкс и Ходжес (1955) дали таблицы, позволяющие вычислять для (которое без потери общности можно, принять и любого Ранее Уайт (1952) табулировал критические значения для размеров критерия «равных хвостов» и Другие таблицы указаны Крускалом и Уоллисом (1952, 1953) и Фикс и Ходжесом (1955). Фердоорен (1963) и Джейкобсон (1963) приводят расширенные таблицы и поправки к имевшимся ранее таблицам.

31.55 Асимптотическая нормальность при гипотезе сразу следует из (31.104). Если так, что будем без различия писать для обозначения или Тогда имеет, самое большее, порядок так что (как мы и видели в имеет порядок Таким образом,

откуда

и распределение сходится к нормальному со средним и дисперсией, указанными в (31.104), (31.105). Сходимость к нормальному распределению быстрая, и нормальное приближение эффективно, когда равны примерно .

Пользуясь общей теоремой, принадлежащей Гёфдингу (1948а), Леман. (1951) показал, что асимптотически нормально, если две выборки получены из различных непрерывных распределений ограничен, как и выше.

Леман (1963) получил выражения для свободных от распределения доверительных -интервалов, получаемых из статистики критерия Вилкоксона методом пункта 31.49 (см. упражнения 31.24, 31.25).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление