Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Ранговые критерии для задачи двух выборок

31.51 Точно так же, как в 31.21, когда мы обсуждали критерии независимости, мы и здесь, в задаче двух выборок, видим, что, если мы хотим иметь возможность табулировать точное перестановочное распределение статистик критерия для любого мы должны исключить зависимость статистики критерия от наблюденных значений, которые являются случайными величинами, и это приводит нас к использованию ранговых критериев, которые особенно уместны здесь вследствие их инвариантности относительно монотонных преобразований наблюдаемых величин, оставляющих инвариантной гипотезу (31.74). Снова простейшая процедура состоит в том, чтобы просто заменить наблюдения их рангами, т. е. упорядочить по величине наблюдений и заменить значение его рангом . Мы тогда получаем набор из значений X, представляющий собой перестановку первых натуральных чисел, из которых относятся к первой выборке и ко второй.

Поскольку, как мы указывали в 31.44, статистика эквивалентна использованию среднего значения первой выборки ранговый критерий, получаемый из заменой наблюдений их рангами, эквивалентен использованию

суммы рангов первой выборки, что аналогично в (31.21), так как и то и другое возникает из замены наблюдений рангами.

31.52 Теперь предположим, что мы ищем аналог статистики определенной в (31.23), т.е., по существу, статистики определяемой посредством (31.38). Если гипотеза (31.74) справедлива, следует, очевидно, ожидать, что наблюдения из первой и второй выборок будут хорошо перемешаны, так что ранги первой выборки не будут иметь никакой тенденции скапливаться у какого-нибудь или у обоих концов интервала от 1 до Определим статистику которая считает, сколько раз элемент первой выборки превосходит элемент второй выборки, т. е.

где как и раньше, определяется формулой (31.36). Статистика принимает значения от до

В то время как в случае критериев независимости имеется реальный выбор между как статистиками критериев (хотя, как мы видели, они и эквивалентны с точки зрения в двухвыборочной ситуации статистики (31.97) и (31.98) функционал связаны. Действительно,

Чтобы доказать (31.99), необходимо только заметить, что

Таким образом, мы можем пользоваться любой из статистик какая удобнее. Как с теоретической, так и с вычислительной точки зрения статистика проще.

Статистика была предложена иезависнмо многими авторами (исторические подробности даются Крускалом и Уоллисом (1952, 1953) и Крускалом (1957)) и называется обычно статистикой критерия Вилкоксона по имени Вилкоксона (1945, 1947); некоторые авторы называют ее статистикой критерия Манна — Уитни по имени авторов, изучавших несколько позднее (Манн и Уитни, 1947); некоторые называют ее статистикой критерия суммы рангов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление