Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Перестановочное распределение w

31.45 Статистика может принимать значения от нуля до максимума, который достигается, когда каждый член первой выборки равен и каждый член второй выборки равен Мы тогда получаем для выборочной дисперсии объединенной выборки, скажем которая инвариантна при перестановках, значение

Поэтому мы имеем

Следовательно, если мы определим

то для всех возможных выборок

31.46 Чтобы получить перестановочное распределение статистики при гипотезе перепишем ее тождественно как

В этом выражении при перестановках наблюдений изменяется только Точное распределение может быть табулировано путем перебора. Но, как ранее отмечалось в 31.19, этот процесс становится трудоемким при возрастании Однако к выражению (31.81) мы можем применить уже полученные результаты, чтобы получить моменты поскольку с точностью до множителя это есть квадрат отклонения выборочного среднего от генерального при выборке элементов из конечной совокупности, содержащей элементов. В (12.114) и (12.120) мы находим необходимые нам математические ожидания, которые в наших теперешних обозначениях имеют вид

и

где выборочный четвертый момент объединенной выборки. Отсюда

где коэффициент эксцесса Когда какое-либо из чисел или а с ним и становится большим, (31.84) асимптотически равно

где объем малой выборки. Если и то (31.84) равно

Таким образом, в особенности когда мало, мы имеем

31.47 Выражения (31.83) и (31.87) представляют собой первые два момента относительно нуля бета-распределения первого рода:

и поэтому мы можем ожидать, что оно будет аппроксимировать перестановочное распределение w. И действительно, Питмзн. (1937а, b) показал, что третьи моменты также близки и что аппроксимация является очень хорошей.

Рассмотрим теперь обычную статистику Стьюдента для проверки различия в сдвиге двух нормальных распределений. В наших теперешних обозначениях мы запишем ее как

где отдельные выборочные дисперсии. Пользуясь тождеством

мы видим из (31.79) и (31.89), что

Таким образом, мы имеем дело с монотонно возрастающей функцией от Более того, в точной нормальной теории преобразование (31.90), примененное к распределению Стьюдента с дает в точности распределение (31.88). (На самом деле мы выполнили, по существу, это же преобразование при сведении функции распределения Стьюдента к неполной бета-функции в 16.11, с той разницей, что там мы преобразовали к и получили (31.88) с вместо

Мы, таким образом, обнаружили точно так же, как в 31.19, что приближением к перестановочному распределению при проверке непараметрической гипотезы служит в точности распределение из нормальной теории. В этом частном случае мы можем согласно (31.90) применять полагая степенями свободы. Для односторонних критериев, обсуждавшихся вначале, мы просто используем подходящий хвост вместо

31.48 Широкая применимость как аппроксимации, даваемой нормальной теорией, в этом примере, несомненно, объясняется действием центральной предельной теоремы, поскольку мы имеем дело с разностью между средними; см. аналогичное обсуждение устойчивости в 31.4.

Точно так же, как мы отмечали ранее в 31.30, асимптотическая эквивалентность распределений перестановочного критерия и оптимального критерия нормальной теории влечет за собой, что первый имеет АОЭ, равную 1, против нормальных альтернатив, в данном случае — сдвига.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление