Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Двухвыборочные критерии

31.42 Мы теперь рассмотрим задачу (1) из 31.13. Имея независимые случайные выборки объемов из непрерывных функций распределения соответственно, мы хотим проверить гипотезу

Как мы отмечали в 31.14, это эквивалентно проверке независимости величины х и фиктивной величины у, принимающей

только два различных значения. Имеются наблю дений над парой

Будем временно рассматривать значений х размещенными по позициям, обозначаемым

При гипотезе каждое из возможных упорядочений значений х имеет одну и ту же вероятность, но независимо от выполнения перестановок позиций в первой выборке и перестановок позиций во второй выборке не влияют на распределение значений по двум выборкам. Таким образом, имеются различных распределений по двум выборкам, соответствующих способам выбрать элементы первой выборки из значений.

31.43 Для гипотезы (31.74), в отличие от рассмотренных ранее гипотез (31.9) и (31.49), мы можем рассматривать класс альтернатив гораздо более широкий, чем альтернативы нормальной теории, а именно:

В (31.76) утверждается, что два распределения отличаются только сдвигом. В терминах (31.76) гипотеза (31.74) принимает вид

Мы будем называть (31.76) альтернативной гипотезой сдвига. Следует заметить, что, хотя в (31.76) и входит параметр сдвига 0, гипотеза (31.77) является непараметрической согласно нашему определению в 22.3, поскольку форма распределения не задана.

31.44 Чтобы предложить статистику для проверки Но, мы вернемся к случаю нормальных альтернатив. Рассмотрим два нормальных распределения, отличающихся только сдвигом. Без потери общности мы предполагаем, что их общая дисперсия равна 1, а среднее первого распределения равно нулю. Функция правдоподобия равна, следовательно,

Из (31.78) мы видим, что при достигает максимума, когда принимает наибольшее возможное значение,

и аналогично при когда принимает наименьшее возможное значение. По лемме Неймана — Пирсона из 22.10 наиболее мощная критическая область будет содержать те из равновероятных точек в пространстве выборок, которые максимизируют Мы, таким образом, приходим к статистике или, что эквивалентно, к среднему второй выборки Так как и общее среднее х инвариантно при перестановках, то определяет также значение и будет эквивалентным рассматривать или Для двусторонней альтернативы мы склонны использовать двусторонний критерий «равных хвостов» над или эквивалентный ему односторонний критерий над с критической областью, образуемой большими значениями. Именно в такой форме эта статистика критерия, была впервые исследована Питмэном (1937а).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление