Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Оптимальные ранговые критерии независимости и случайности

31.39 Стоит отметить, что при нормальных альтернативах ранговые коэффициенты корреляции Даже более эффективны как критерии случайности, чем как критерии двумерной независимости, поскольку значения АОЭ, даваемые (31.70) и (31.48), равны соответственно. Но хотя оба эти значения близки к 1, они не равны. 1, и остается вопрос, существуют ли для этих задач свободные от распределения критерии, для которых АОЭ по сравнению с наилучшим критерием равна 1.

Для того чтобы ответить на этот вопрос, вернемся к нашим рассуждениям в 31.21, где среди всех возможных ранговых критериев было выбрано из-за простоты. В самом деле, мы решили заменить наблюденные значения варианты х их рангами; Но поскольку АОЭ перестановочного критерия, основанного на самих значениях варианты, равна 1 при нормальных альтернативах (см. 31.30), следует ожидать, что оптимальная эффективность сохранится, если мы заменим значения варианты функциями от их рангов, которые асимптотически полностью коррелированы со значениями варианты. Предположим теперь, что

после ранжировки наблюдений х мы заменяем их математическими ожиданиями порядковых статистик в выборке объема из стандартного нормального распределения. Они образуют вполне определенный набор условных чисел, называемых обычно нормальными метками (normal scores); смысл их использования состоит в том, что при корреляция этих чисел со значениями варианты стремится к 1, и мы получим оптимальные ранговые критерии против нормальных альтернатив. Статистика критерия, следовательно, имеет, вид

где теперь — ранг значения х, соответствующего наибольшему значению математическое ожидание в выборке объема из стандартного нормального распределения. Пренебрегая постоянными, получаем, что (31.71) эквивалентно критерию со статистикой

который, следовательно, имеет АОЭ, равную 1, при проверке независимости или случайности против нормальных альтернатив.

Бхучонгкул (1964) получил подтверждение этого результата, исследуя использование любых условных чисел в статистиках критериев.

Использование нормальных меток в качестве условных чисел было предложено Фишером и Иэйтсом во введении к их таблицам Statistical Tables, впервые опубликованным в 1938 г. Свойства локальной оптимальности статистики критерия (31.72) были доказаны Гёфдингом (1950) и Терри (1952). Прямое доказательство асимптотически полной корреляции между математическими ожиданиями порядковых статистик и значениями варианты, которые они заменяют, получается из теоремы Гёфдинга (1953), утверждающей, что для любой исходной с конечным средним и любой действительной непрерывной функции которая ограничена по величине интегрируемой выпуклой функцией,

Последовательная подстановка в (31.73) показывает, что предельная совпадает с к. ф. распределения равной

Белл и Доксум (1965) показали, что если вместо нормальных меток использовать наблюдения в некоторой выборке из нормальных отклонений, то мы получим те же асимптотические свойства во всех ситуациях, рассмотренных в этой главе. Преимущества этого заключаются в том, что не требуется специальных таблиц и что критерии могут иметь точный размер а; недостатком является то, что при малых объемах выборок мощность этих критериев, по-видимому, ниже, чем у критериев нормальных меток. Джогдео (1966) показал, что эти критерии имеют некоторые нежелательные свойства.

Бриллинджер (1966) указал, что совокупность упорядоченных значений максимально коррелирована со значениями при любом объеме выборки. Это следует из того факта, что коэффициент корреляции между и равен корреляционному отношению X относительно своих упорядоченных значений (см. (26.40) и (26.45)).

31.40 Помимо отыскания оптимальных ранговых критериев против нормальных альтернатив, как в 31.39, мы можем также поставить вопрос, имеются ли альтернативы, для которых данный ранговый критерий оптимален среди ранговых критериев. Мы не будем заниматься этим вопросом здесь, так как это исследование было бы искусственным с нашей теперешней точки зрения (см. 31.17), которая, по существу, рассматривает свободные от распределения процедуры как устойчивые заменители для стандартных процедур нормальной теории. Наши интересы поэтому ограничены сравнениями эффективности между свободными от распределения методами и методами стандартной нормальной теории. Общее изложение ранговых критериев имеется в книгах Лемана (1959) и Фрэзера (1957).

31.41 Прежде чем закончить рассмотрение критериев случайности, заметим, что в литературе было предложено большое количество таких критериев, ни один из которых не является столь эффективным против нормальных альтернатив, как те, что мы рассматривали. Однако некоторые из них заметно проще для вычислений, чем и лишь немногим менее эффективны. Они рассматриваются в упражнениях 31.10-31.12. Для других критериев АОЭ была получена Стьюартом (1954b, 1956).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление