Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Критерии случайности против альтернатив тренда

31.34 Как мы отмечали в 31.14, проблема (3) из 31.13, состоящая в проверке гипотезы

когда имеется по одному наблюдению из каждого из непрерывных распределений, упорядоченных согласно значениям некоторой переменной у, эквивалентна проверке независимости х и у. Поэтому любой из наших критериев независимости может быть использован как критерий случайности. Однако, поскольку переменная у обычно не является случайной величиной, а только упорядочивает распределения (по времени или как-нибудь иначе), любое монотонное преобразование у играло бы ту же роль, что и само у. Поэтому естественно ограничиться ранговыми критериями случайности, так как ранги инвариантны при монотонном преобразовании, оставляющем гипотезу (31.49) без изменения.

Манн (1945) был, по-видимому, первым, кто понял, что статистика ранговой корреляции может быть использована не только для проверки независимости, но и случайности, и предложил использовать t (хотя, конечно, с таким же успехом можно было бы использовать ) против класса альтернатив

где наблюдения х, остаются независимыми.

Так как (31.50) утверждает, что вероятность наблюдению попасть ниже любого фиксированного значения монотонно возрастает, когда мы продвигаемся по последовательности наблюдений, то можно назвать альтернативой тренда вниз. Поэтому критическая область для критерия размера а состоит из наибольших значений числа инверсий, определенного в (31.38), в количестве процентов от числа всех возможных значений

31.35 Из (31.50) следует, что при

Поэтому мы имеем согласно (31.38)

где сумма всех значений

Рассмотрим теперь дисперсию

Ковариационные члены в (31.53) имеются двух видов. Все члены, содержащие четыре различных индекса, равны нулю, так как случайные величины тогда независимы, и таких членов Остальные члены отличны от нуля и содержат только три различных индекса, так что и имеют один общий индекс. Число таких членов имеет порядок числа способов выбрать три индекса из Следовательно, поскольку в первой сумме в (31.53) только членов, мы можем написать

Из 31.26 следует, что статистика при гипотезе распределена асимптотически нормально, и, таким образом, критическая область критерия состоит асимптотически из значений превосходящих значение

где член в фигурных скобках есть дисперсия (полученная из (31.34) и (31.23)), соответственно выбранное нормальное отклонение.

31.36 Из (31.52) и (31.55) мы видим, что

Пользуясь (31.54), мы можем асимптотически переписать (31.56) как

где с — некоторая константа. Теперь мы наложим условие, что

при Тогда

и X будет отрицательным, когда достаточно велико. По неравенству Чебышева (3.94) мы имеем a fortiori для отрицательного X и любой случайной величины

Таким образом, если выполняется (31.58), то (31.57), (31.59) и (31.60) дают

Следовательно, этот критерий случайности состоятелен при условии, что выполняется (31.58). Это довольно слабое требование, так как состоит из членов. Поэтому, если для имеется фиксированная ненулевая нижняя граница, то (31.58) заведомо выполняется. Обычно рассматривают альтернативы, при которых является функцией только от расстояния если это возрастающая функция, то (31.58) заведомо выполняется.

Помимо более общего варианта этого результата, в котором не обязательно имеют один и тот же знак, Манн (1945) получил также условие несмещенности критерия, которое по существу совпадает с даваемым в упражнении 31.8.

37.37 Мы теперь рассмотрим альтернативу тренда специального вида, когда среднее величины есть линейная функция от а ее распределение нормально с этим средним и постоянной дисперсией. Это обычная модель линейной регрессии с нормальными ошибками. Мы имеем

где ошибки независимы и нормально распределены, а их дисперсия равна при всех Проверка случайности эквивалентна проверке гипотезы

в (31.61). Мы найдем асимптотическую относительную эффективность (АОЭ) критерия, основанного на (или, что эквивалентно, на по сравнению со стандартным критерием, основанным на выборочном коэффициенте регрессии

который представляет собой критерий отношения правдоподобия для (31.62) и (поскольку налагает только одно ограничение) является РНМ при односторонних альтернативах, скажем и РНМН при двусторонних альтернативах (см. 24.27). Без потери общности мы полагаем Из теории наименьших квадратов имеем (см. примеры 19.3, 19.6)

так что

31.38 Чтобы получить эквивалент (31.64) для критерия, основанного на нам потребуется производная от

Согласно модели имеет нормальное распределение со средним и дисперсией 2. Следовательно,

Отсюда

Кроме того, из (31.34) и (31.23)

Из

Пользуясь (31.64) и (31.69), из (25.27) с получаем для АОЭ критерия по сравнению с значение

Так же, как и раньше (см. 31.28), тот же результат выполняется для коэффициента (или, что эквивалентно, для V), непосредственный вывод АОЭ для V мы оставляем читателю в качестве упражнения 31.9.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление