Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Перестановочное распределение r

31.19 Поскольку

только является случайной величиной при перестановках.

Мы можем получить ее точное распределение, а следовательно и распределение путем перебора всех возможностей, но это становится слишком трудоемким на практике, когда велико. Вместо этого мы найдем аппроксимацию к точному распределению, подбирая распределение по его моментам. Сохраняя фиксированными и переставляя значения х, мы находим

откуда согласно (31.11)

Для удобства мы примем теперь за начало отсчета средние Имеем

Поэтому (31.11) дает

Первые два момента даваемые формулами (31.12) и (31.13), совсем не зависят от наблюденных значений

Аналогичными методами находим, что

где обозначают -статистики наблюденных иксов, обозначают -статистики наблюденных игреков. Пренебрегая различием между -статистиками и выборочными семиинвариантами, мы можем переписать (31.14) в виде

где меры асимметрии и эксцесса для иксов, то же для игреков. Если они фиксированы, то (31.14) можно записать как

Таким образом, при мы имеем приближенно

Моменты (31.12), (31.13) и (31.17) в точности равны моментам распределения -симметричного точного распределения в выборках из двумерного нормального распределения с что легко можно проверить интегрированием в (16.62). Таким образом, с хорошей степенью приближения перестановочное распределение дается тем же выражением

и мы можем, следовательно, использовать (31.18) или эквивалентный факт, что имеет распределение Стьюдента с степенями свободы, для реализации наших критериев над В действительности (31.18) дает очень хорошее приближение даже при малых как можно было ожидать из точного совпадения его первых двух моментов с моментами перестановочного распределения.

Сходимость перестановочного распределения и распределений нормальной теории к одному и тому же предельному нормальному распределению была строго доказана Гёфдингом (1952)

31.20 Может показаться неожиданным, что перестановочное распределение используемое при проверке непараметрической гипотезы (31.9), так близко согласуется с точным распределением (16.62), которое было получено в предположении независимости и нормальности х и у. Но следует обратить внимание на то, что степень аппроксимации третьего и четвертого моментов перестановочного распределения зависит от значений в (31.15): они становятся малыми, когда близко к нормальному. На самом деле мы сейчас наблюдаем, так сказать с другого конца, явление, о котором говорилось в 31.9, а именно устойчивость распределения когда

Но если фактическое совпадение перестановочного распределения с распределением нормальной теории не является полной неожиданностью, то оно во всяком случае очень удобно и приятно, так как мы можем по-прежнему пользоваться таблицами нормальной теории (в данном случае -распределения Стьюдента) для свободного от распределения критерия непараметрической гипотезы независимости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление