Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Критерии независимости

31.18 Подробное рассмотрение свободных от распределения критериев для непараметрических гипотез, которое будет иллюстрировать общие положения из мы начинаем с задачи (4) из 31.13 — задачи независимости.

Предположим, что у нас имеется выборка из непрерывной двумерной функции распределения с непрерывными маргинальными функциями распределения состоящая из пар Мы хотим проверить гипотезу

При гипотезе Но все возможных упорядочений значений х

равновероятны, и независимо от х то же самое справедливо относительно упорядочений мы, следовательно, имеем равновероятных точек в пространстве выборок. Однако поскольку вопрос касается связи между для нас играют роль только различные способы соединения в пары иксов и игреков, и имеются различных множеств Таких соединений (получаемых, например, если фиксировать значения у и брать перестановки значений имеющих равные вероятности Согласно 31.16 всякий подобный критерий размера а для содержит способов соединения в пары (предполагается, что целое положительное).

Каждое из множеств таких пар содержит значений (некоторые из которых могут, конечно, совпадать). Теперь спрашивается: какую функцию от взять в качестве статистики критерия?

Рассмотрим альтернативную гипотезу состоящую в том, что х и у имеют двумерное нормальное распределение с ненулевым коэффициентом корреляции Согласно (16.47) и (16.50) мы можем тогда записать функцию правдоподобия в виде

Различные способы соединения х и у в пары не влияют на наблюденные средние и дисперсии но они воздействуют на выборочный коэффициент корреляции через член в его числителе. Очевидно, наибольшее значение (31.10) будет достигаться при любом когда сколь возможно велико, и при любом когда сколь возможно мало. По лемме Неймана — Пирсона из 22.10 мы получаем наиболее мощный критерий перестановок, выбирая в качестве нашей критической области множество тех соединений в пары, которые максимизируют (31.10), так как при гипотезе все способы образования пар равновероятны. Таким образом, рассмотрение нормальных альтернатив приводит к следующему критерию, впервые предложенному из интуитивных соображений Питмэном отвергнуть против альтернатив положительной корреляции, если велико, против альтернатив отрицательной корреляции, если мало, и против общих альтернатив отсутствия независимости, если велико. Критическое значение в каждом случае должно определяться по распределению среди различных множеств пар, равновероятных при гипотезе Н.

Хотя корреляционный критерий Питмэна дает наиболее мощный критерий перестановок для гипотезы независимости против нормальных альтернатив, он, конечно, остается в силе (т. е. имеет точный размер а) при любых альтернативах, и можно предполагать, что он будет иметь достаточно хорошую мощность в широком классе альтернатив, близких к нормальным.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление