Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Построение свободных от распределения критериев

31.15 Как строить свободные от распределения критерии для непараметрических задач? При обсуждении критериев согласия в главе 30 мы уже встречали два метода: один состоял в применении вероятностного интегрального преобразования, которое для простых гипотез дает свободный от распределения критерий; второй состоял в сведении задачи к задаче о мультиномиальном распределении, как в случае критерия в следующей главе мы увидим, что этот последний способ в своей простейшей форме служит для построения критерия (так называемого критерия знаков) для задачи (5) из 31.13. Но важнейшие классы свободных от распределения критериев для задач (1) — (4) основываются на других методах, которые мы теперь рассмотрим.

Если мы ничего не знаем о форме исходных распределений, кроме, возможно, того, что они непрерывны, мы, очевидно, не можем найти подобных областей в пространстве выборок теми методами, которые применялись для параметрических задач в главе 23. Однако продвижение все же возможно. Прежде всего мы произведем некоторые необходимые изменения в наших определениях достаточности и полноты.

При отсутствии параметрической формулировки мы должны связывать эти определения непосредственно с исходными в то время как раньше мы называли статистику достаточной для параметра если была возможна факторизация (17.68), мы теперь определим семейство С распределений, и пусть просто некоторая переменная, которая служит индексом для членов этого семейства. Имея это в виду, будем называть статистику достаточной для семейства С, если для всех имеет место факторизация (17.68). Аналогично, определения полноты и ограниченной полноты семейства распределений в 23.9 остаются в силе для непараметрических ситуаций, если в качестве взять индексную переменную для членов семейства.

31.16 В примерах 23.5 и 23.6 мы видели, что совокупность порядковых статистик является достаточной статистикой в некоторых параметрических задачах, хотя и не обязательно минимальной достаточной статистикой. Интуитивно очевидно, что всегда будет достаточной статистикой, если все наблюдения получены из одного и того же распределения, так как в этом случае мы не теряем никакой

информации, упорядочивая наблюдения. (Очевидно также, что будет минимальной достаточной статистикой, если о форме исходного распределения ничего не известно.). Если исходное распределение непрерывно, мы отмечали в 23.5, что подобные области могут всегда быть построены посредством перестановки координат пространства выборок для критериев, размер которых кратен Такая перестановка оставляет совокупность порядковых статистик без изменений. Если относительно формы исходного распределения не известно ничего, то ясно, что мы не можем получить подобных областей никаким другим способом. Поэтому из результата 23.19 следует, что совокупность порядковых статистик ограниченно полна для семейства всех непрерывных ф. р.

Следовательно, мы видим, что, если нам нужно строить подобные критерии для таких гипотез, как в задачах (4) в 31.13, мы должны пользоваться критериями перестановок, которые основываются, по существу, на том факте, доказанном в 11.4 и очевидном из симметрии, что каждое упорядочение выборки из непрерывной ф. р. имеет одну и ту же вероятность При этом еще остается вопрос, каким критерием перестановок следует пользоваться для данной конкретной гипотезы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление