Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Сравнение статистики Колмогорова с «хи-квадрат»

30.59 В общем случае ничего не известно о поведении статистики когда при проверке сложной гипотезы согласия подлежат оценке параметры, хотя применение этой статистики для проверки нормальности изучалось (см. 30.63). Ясно, что в этом случае она не будет больше свободной от распределения (см. 30.36), и в этом ее существенный недостаток по сравнению с -критерием. Однако она имеет то преимущество, что позволяет строить доверительные интервалы для функции распределения при условии лишь, что последняя непрерывна.

Вследствие сходимости к истинной с вероятностью 1 (см. (30.98)) критерий состоятелен против любой альтернативы Однако Мэсси (1950b, 1952) дал пример, в котором этот критерий смещен (см. упражнение 30.16). Он также установил нижнюю границу для мощности критерия при больших выборках, приводимую ниже.

30.60 Обозначим F ф. р. при альтернативной гипотезе Пусть как и ранее, — ф. р., подлежащая проверке, и

Если как и ранее, — критическое значение то искомая мощность равна

Это вероятность осуществления неравенства при каком-нибудь х. Ясно, что она не меньше, чем вероятность его осуществления при любом фиксированном значении х. Выберем то значение при котором наиболее удалены, т. е.

Таким образом, мы имеем

или

Далее, имеет биномиальное распределение с вероятностью равной вероятности попадания левее Таким образом, мы можем приблизить правую часть (30.141), пользуясь нормальным приближением к биномиальному распределению, т. е. асимптотически

причем в (30.142) и далее значения берутся в точке Если задана, то (30.142) и есть искомая нижняя граница

мощности. Ясно, что при о оба предела интегрирования возрастают. Если

то оба они стремятся к когда когда Таким образом, интеграл будет стремиться к нулю и мощность — к 1. Когда возрастает, стремится к нулю, так что (30.143) всегда рано или поздно будет выполнено. Следовательно, мощность и критерий состоятелен.

Если не полностью задана, мы можем все же получить (худшую) нижнюю границу для мощности из (30.142). Так как мы имеем для достаточно большях

и, пользуясь симметрией нормального распределения, При это можно записать так:

Граница (30.144) зависит только от максимального отклонения

Бирнбаум (1953) получил близкие верхние и нижние границы для мощности в терминах

30.61 Используя (30.144) и вычисления, проделанные Уилльямсом (1950), Мэсси (1951) сравнивал значения при которых асимптотические мощности критериев и достигают 0,5. При размере критерия критерий может отличать с мощностью 0,5 отклонение примерно вдвое меньшее, чем то, которое может отличать критерий с той же мощностью; даже при отношение этих равно 0,6, и оно все время убывает в пользу когда растет. При критерии очень близки по своим качествам. Поскольку это сравнение основано на грубой нижней границе (30.144) для мощности мы должны заключить, что гораздо более чувствительный критерий для проверки согласия с непрерывным распределением.

Кац и др. (1955) указывают, что если используется процедура равных вероятностей Манна — Вальда из 30.28-29, то критерию требуется порядка чтобы достичь мощности 1/2, в то время как для требуется порядка Таким образом, требуемый объем выборки для имеет асимптотически

порядок по сравнению с для критерия и асимптотически гораздо более эффективен в действительности относительная эффективность будет стремиться к нулю при возрастании

Подробный обзор теории и родственных им критериев дан Дарлингом (1957).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление