Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Доверительные границы для функции распределения

30.56 Поскольку распределение свободно от распределения и достаточно хорошо известно для всех и поскольку в качестве меры расхождения используется максимальное абсолютное отклонение от мы можем обратить процедуру проверки согласия и использовать для установления доверительных границ для (непрерывной) функции распределения в целом. Действительно, какова бы ни была истинная мы имеем, обозначая критическое значение при размере критерия а,

Поэтому мы можем обратить это в доверительное утверждение

Таким образом, мы просто располагаем полосу шириной вокруг выборочной и с вероятностью истинная лежит целиком внутри этой полосы. Это замечательно простой и прямой метод оценки функции распределения. Никакой другой критерий согласия не позволяет такого обращения критерия в доверительный интервал, так как ни один критерий

не использует такой прямой и просто интерпретируемой меры расхождения, как

Из этой техники доверительных интервалов можно извлечь полезные заключения относительно объема выборки, необходимого для близкой аппроксимации функции распределения. Например, из критических значений, приведенных в конце 30.55, следует, что эмпирическая функция распределения выборки в 100 наблюдений с вероятностью 0,95 отстояла бы повсюду не далее чем на 0,13581 от истинной ф. р. Для того чтобы она лежала повсюду в пределах 0,05 от истинной ф. р. с вероятностью 0,99, потребовался бы объем выборки т. е. более чем 1000.

Нётер (1963)- показал, что для дискретных распределений вероятность в левой части (30.133) 1—? а. Таким образом, в этом случае критерий также консервативен.

30.57 Будучи основана на абсолютном значении, величина не позволяет строить односторонних доверительных интервалов для но мы можем рассматривать только положительные отклонения и определить

как было сделано Вальдом и Волфовицем (1939) и Смирновым (1939а).

Чтобы получить предельное распределение мы заново проследим за рассуждениями в 30.51-54. Мы теперь рассматриваем только события в (30.112). определяется, как и раньше, не рассматривается. (30.114) заменяется на

а (30.128) - на

Вместо (30.129) мы, следовательно, имеем, используя (30.127) и (30.135),

Первое уравнение в (30.124) справедливо, и мы получаем таким же способом, как и раньше,

Снова из (30.127) видно, что (30.136) есть одностороннее преобразование Лапласа функции

и подстановка как и раньше, дает

это результат Смирнова (1939а). Соотношение (30.137) можно переписать в виде

Дифференцирование (30.138) по показывает, что величина имеет асимптотически экспоненциальное распределение

Иначе говоря, имеет асимптотически распределение с 2 степенями свободы. Очевидно, в точности та же теория будет справедлива, если мы рассмотрим только отрицательные отклонения.

30.58 Бирнбаум и Тинджи (1951) получили выражение для точного распределения величины и табулировали значения, которые она превышает с вероятностями 0,10, 0,05, 0,01, 0,001, для . Как и для асимптотические значения превышают точные и разности между ними малы при

Мы можем, очевидно, использовать для получения односторонних доверительных областей вида , где критическое значение

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление