Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Статистика Колмогорова

30.49 Мы теперь переходим к наиболее важному из общих критериев согласия, отличных от Подобно статистике определенной в (30.99), он основан на отклонениях выборочной от полностью заданной непрерывной гипотетической Однако здесь используется более простая мера отклонения — максимум абсолютной величины разности между Мы, таким образом, определим

Из-за наличия модуля в определении (30.106) мы могли бы ожидать трудностей в исследовании распределения но замечательно, что асимптотическое распределение было получено Колмогоровым (1933), когда он впервые предложил эту статистику. Нижеследующий вывод принадлежит Феллеру (1948).

30.50 Мы прежде всего отметим, что распределение полностью свободно от распределения, когда выполнена В этом случае это можно видеть непосредственно, так как если начертить как ординаты, соответствующие абсциссе х, то будет просто значением наибольшего расхождения между ними по вертикали. Ясно, что если мы сделаем любое взаимно

однозначное преобразование х, то оно не изменит расстояния по вертикали в любой точке и, в частности, значение останется без изменения.

30.51 Теперь рассмотрим значения определяемые равенством

(Если при каком-нибудь выполняется в пределах некоторого интервала, то мы берем в качестве нижнюю границу этого интервала.) Пусть с — положительное число. Если при некотором значении х

то неравенство (30.108) будет выполняться для всех х из некоторого интервала, в правой граничной точке которого, х, оно обращается в равенство, т. е.

Так как по определению -ступенчатая функция, принимающая значения, кратные а с — целое число, то из (30.109) следует, что кратно таким образом, вследствие для некоторого так что (30.109) принимает вид

т. е. из

По определению в (30.97) это означает, что в точности с наблюденных значений х меньше являющегося гипотетическим значением, ниже которого должны были бы попасть наблюдений. Обратно, если то отсюда сразу вытекает (30.108). Мы, следовательно, установили предварительный результат, что неравенство

выполняется при некотором х тогда и только тогда, когда при каком-нибудь

Следовательно, мы можем ограничиться рассмотрением вероятности того, что выполняется (30.111).

30.52 Мы обозначим событие (30.111) через Из (30.106) мы видим, что статистика будет превосходить тогда и только тогда, когда происходит по крайней мере одно из событий

Мы определим теперь взаимно несовместных событий Событие происходит, если первым в последовательности (30.112) осуществляется событие происходит, если первым осуществляется Очевидно,

Из определений и имеем соотношения

Из (30.111) и (30.107) мы видим, что есть вероятность того, что в биномиальных испытаниях с вероятностью произойдут в точности с «успехов», т. е.

Аналогично, при

Соотношения (30.115) и (30.116) выполняются как для положительных, так и для отрицательных с. Применяя их, мы видим, что (30.114) представляет собой систему из линейных уравнений от неизвестных Решив их и подставив решение в (30.113), мы получили бы Для любого с.

30.53 Если мы теперь обозначим

то

так что если определить

и подставить (30.115) — (30.119) в (30.114), то это соотношение принимает вид

Из системы (30.120) нам нужно найти

Мы поэтому определим

так что из (30.121)

Теперь мы введем производящие функции для а именно:

Если мы определим также производящие функции для и (для удобства) а именно:

и

то из (30.122) получим соотношения

30.54 Мы рассмотрим теперь предельную форму (30.124). Положим

и пусть так, чтобы z оставалось фиксированным.

Мы видим из (30.117), что это просто вероятность значения для пуассоновской случайной величины с параметром к, т. е. вероятность того, что она превосходит свое среднее значение на стандартных отклонений. Если стремится к некоторому фиксированному значению то, поскольку пуассоновское распределение сходится к нормальному,

полагая имеем

Так как производящая функция для то

и при нашем предельном переходе это выражение в силу (30.125) стремится к

Если мы продифференцируем. интеграл в правой части (30.126) по 2/2, то получим простое дифференциальное уравнение

решением которого является

Таким образом,

Выражение (30.127) представляет собой четную функцию от а следовательно, и от с.

Так как вследствие (30.120)

четность (30.127) по с дает нам

согласно (30.127). Поэтому, применяя (30.127) и (30.129) в соотношениях (30.124) и вспоминая, что

получаем

Это можно разложить в геометрический ряд

С помощью такого же интегрирования, как в (30.126), можно видеть, что есть одностороннее преобразование Лапласа от функции

Таким образом, (30.131) является результатом обращения любой из предельных производящих функций или первая из которых есть

В силу (30.113) и (30.123) нам требуется только значение Поэтому мы полагаем в т.е. и после умножения на два получаем наш окончательный результат

Смирнов (1948) табулировал функцию (30.132) (на самом деле ее дополнение) для с шестью десятичными знаками

или более. Это полностью покрывает эффективную область предельного распределения.

30.55 Помимо вывода предельного результата (30.132) Колмогоров (1933) дал рекуррентные соотношения для конечных которые затем были использованы для табулирования распределения Бирнбаум (1952) дает таблицы с 5 десятичными знаками для и обратные таблицы значений Для которых эта вероятность равна 0,95, для и значений Для которых эта вероятность равна 0,99, для Миллер (1956) дает обратные таблицы для и вероятностей 0,90, 0,95, 0,98, 0,99. До этого Мэсси (1950а, 1951а) дал для и некоторых значений с 9, а также обратные таблицы для и вероятностей 0,80, 0,85, 0,90, 0,95, 0,99.

Критические значения асимптотического распределения оказываются равными:

причем эти значения всегда больше, чем точные значения при конечных Точность приближения для этих значений а удовлетворительна при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление