Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Критерии согласия, основанные на выборочной функции распределения

30.46 Все остальные распространенные критерии согласия являются функциями кумулятивного распределения выборки, или выборочной функции распределения, определяемой как

Здесь порядковые статистики, т. е. наблюдения, упорядоченные так, что

- это просто относительное число наблюдений, не превосходящих х. Если полностью определенная истинная ф. р.,

из которой получены наблюдения, мы имеем для каждого значения х согласно усиленному закону больших чисел

и на самом деле имеются и более сильные результаты относительно сходимости выборочной ф. р. к истинной ф. р.

В определенном смысле (30.98) — это фундаментальное соотношение, на котором основана вся статистическая теория. Если бы не выполнялось никакого соотношения такого рода, то случайная выборка не имела бы смысла. В нашем теперешнем контексте понятно, что критерий согласия может основываться на любой мере расхождения между Мы теперь предположим, что непрерывна. Рассмотрим статистику

которая была предложена Смирновым (1936) после более ранних предложений Крамера и Мизеса. Из теории биномиального распределения (пример 3.2) с следует, что

Поэтому из (30.99) и (30.100) мы имеем

и аналогично можно установить, что

30.47 Можно заметить, что среднее и дисперсия статистики не зависят от На самом деле распределение в целом не зависит от этот критерий полностью свободен от распределения при любом Это легко увидеть непосредственно, поскольку если мы применим вероятностное интегральное преобразование (30.73) к х, то мы сведем (30.99) к

т. е. задача проверки согласия сводится к проверке того, насколько велико в выборке из равномерного распределения на (0,1) отклонение выборочной ф. р. от ф. р. этого распределения,

Из (30.101) и (30.102) ясно, что при отыскании предельного распределения следует рассматривать (нормирующий множитель здесь не равен как обычно требуется по центральной предельной теореме), тогда среднее и дисперсия имеют нулевой порядок по Асимптотическая теория трудна, а точной теории для конечных неизвестно. Смирнов (1936) показал, что ее предельная х. ф. равна

Андерсон и Дарлинг (1952) преобразовали к виду, пригодному для численных расчетов, и табулировали обратную функцию для предельной В таблице даны значения, которые превышает с вероятностями Как обычно принято, наиболее важными из этих значений для целей проверки гипотез являются:

(см. скан)

Критическую область образуют большие значения что очевидно из мотивировки критерия.

Маршалл (1958) показал, что асимптотическое распределение достигается чрезвычайно быстро, так что приведенные выше критические значения достаточно точны уже при Marshall A. W. (1958), The small-sample distribution of Ann Math. Statist. 29, 307).

Пирсон и Стефенс применили подгонку распределений Джонсона типа (см. 6.27-34) при для получения критических значений.

30.48 Для критерия так же как для негруппированных критериев обсуждавшихся в требуется вычислять для каждого отдельного наблюдения. Действительно, можно показать, что эта статистика может быть представлена в виде

Критерий рассматривался в случае сложной гипотезы с одним неизвестным параметром Дарлингом (1955). Тогда статистика критерия, вообще говоря, больше не является свободной от распределения, как и следовало ожидать из рассмотрений в 30.36. Исключение составляет случай, когда параметр допускает оценку с дисперсией меньшего порядка, чем тогда предельное распределение оказывается точно таким же, как и при простой гипотезе (ср. 30.8, где мы встретились с тем же явлением для Если неизвестен параметр сдвига или масштаба, оцениваемый с дисперсией порядка предельное распределение будет свободным от параметра (ср. 30.36).

Андерсон и Дарлинг (1952, 1954) исследовали еще одну статистику критерия для простой гипотезы. Она дается формулой (30.99) с добавлением множителя под интегралом. Они табулировали критические значения ее асимптотического распределения для Лыоис (1961) дает точную таблицу этой ф. р. для и и оценки, основанные на выборочных экспериментах для сходимость с асимптотической ф. р. чрезвычайно быстрая.

Ватсон (1961) показал, что если видоизменить статистику полагая

то будет иметь точно такое же асимптотическое распределение, как даваемое в (30.132) ниже. Пирсон и Стефенс (1962) и Стефенс (1963, 1964) дают теоретические и эмпирические результаты о распределении Тайкыо использует распределение для приближения распределений а также

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление