Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

«Гладкие» критерии Неймана—Бартона

30.37 Первыми из критериев согласия, которые мы рассмотрим в качестве альтернатив к будут так называемые «гладкие» критерии, разработанные впервые Нейманом (1937а), рассматривавшим, насколько нам известно, только простую гипотезу. При заданной мы преобразуем наблюдений как в 30.36, с помощью вероятностного интегрального преобразования

и получаем независимых наблюдений, распределенных равномерно на интервале когда справедлива В качестве альтернатив к мы задаем отклонения от равномерности распределения у и которые тем не менее остаются независимыми. Нейман построил систему распределений, которые могли бы гладко изменяться, отклоняясь от -распределения (равномерного), и зависели бы от нескольких параметров. (Именно эта «гладкость» альтернатив была перенесена на название самих критериев.) Альтернативы, которые рассматривал Нейман, задавались для всех функцией плотности

где с — константа, которая обеспечивает равенство единице интеграла от (30.74), а полиномы Лежандра, линейно преобразованные так, чтобы они были ортогональны на интервале Если положить , то этими полиномами до четвертого порядка будут

30.38 Теперь задача состоит в том, чтобы найти статистику критерия для проверки против Можно видеть, что если переписать семейство (30.74) в виде

считая то оно включает в себя Мы хотим проверить простую гипотезу

или, эквивалентно,

против сложной альтернативы, состоящей в отрицании этого. Мы видим, что (30.76) образует экспоненциальное семейство, линейное по Функция правдоподобия независимых наблюдений равна

Выражение (30.79), очевидно, распадается на сомножителей, так что каждая из статистик достаточна для и мы, следовательно, можем ограничиться функциями от при отыскании статистики критерия. Когда мы имели дело с линейными функциями от мы видели, что та же функция от дает РНМН критерий. Здесь нас интересует сумма квадратов параметров, и кажется разумным использовать соответствующую функцию от т. е. в качестве статистики критерия, хотя мы и не можем ожидать, что она будет иметь такое же сильное свойство оптимальности. Это и была, с точностью до константы, статистика, предложенная Нейманом (1937а), который для обоснования ее выбора использовал асимптотические рассуждения. Пирсон (1938) показал, что при больших выборках эта статистика эквивалентна критерию отношения правдоподобия для гипотезы (30.78). Мы положим статистика критерия тогда равна

30.39 Так как то по центральной предельной теореме распределены асимптотически нормально со средними и дисперсиями, равными в силу (30.79)

некоррелированы, так как ортогональны. Таким образом, статистика (30.80) асимптотически есть сумма квадратов независимых нормальных случайных величин с единичными дисперсиями, у которых все средние значения равны нулю тогда и

только тогда, когда справедлива Следовательно, асимптотически имеет нецентральное -распределение с степенями свободы и параметром нецентральности, равным согласно (30.81)

Отсюда сразу следует, что определяет состоятельный (и, по 24.17, асимптотически несмещенный) критерий, как показал Нейман (1937а). Дэвид (1939) нашел, что при гипотезе простейшие статистики достаточно хорошо аппроксимируются (центральными) -распределениями с 1 и 2 степенями свободы соответственно при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление