Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Другие критерии согласия

30.35 Мы обратимся теперь к обсуждению альтернативных критериев согласия. Поскольку они направлены на то, чтобы избежать потери информации от группировки, присущей критерию для них не проходит упрощение, связанное с переходом к мультиномиальному распределению, и мы должны ожидать, что их теория будет более трудной. Прежде чем обсуждать наиболее важные критерии в отдельности, мы отметим их общие черты.

Заметим, что, когда статистика применяется для проверки простой гипотезы, она распределена асимптотически какова бы ни была эта простая гипотеза, хотя ее точное распределение и зависит от распределения, задаваемого гипотезой. Ясно, что такой результат достигается за счет привлечения мультиномиального распределения и его сходимости к нормальному. Кроме того, то же самое справедливо и в случае сложной гипотезы, когда применяются мультиномиальные МП-оценки, в этом случае какова бы ни была сложная гипотеза, хотя здесь еще более ясно, что точное распределение зависит от рассматриваемой сложной гипотезы. Когда используются другие оценки (даже когда это эффективные обычные МП-оценки), эти приятные асимптотические свойства не выполняются: даже асимптотическое распределение теперь зависит от характеристических корней матрицы (30.37), которые в общем случае являются функциями как гипотетического распределения, так и значений параметров

Выразим эти результаты в следующей форме: в первых двух случаях мы говорим, что распределение асимптотически свободно от распределения (т. е. на него не влияет форма гипотетического распределения или значения параметров), в то время как в третьем случае оно не будет ни асимптотически свободным от распределения, ни даже свободным от параметров (т. е. свободным влияния параметров хотя и зависящим от вида распределения

30.36 Мы увидим, что во всех наиболее важных критериях согласия прямо или косвенно используется вероятностное интегральное преобразование, которое нам встречалось в различных ситуациях (например, 1.27, 24.11) как средство для преобразования любого известного непрерывного распределения в прямоугольное распределение на интервале В наших тепе решних обозначениях, если мы имеем простую гипотезу, задающую которой соответствует функция плотности то величина имеет равномерное распределение на Поэтому, если мы имеем наблюдений и преобразуем их в посредством вероятностного интегрального преобразования при известной а затем используем функцию от для проверки отклонения от равномерности, то распределение статистики критерия будет свободным от распределения не только асимптотически, но и при каждом

Когда распределение задается сложной гипотезой, скажем где параметров в подлежат оценке, мы должны выбрать для этого 5 функций

Преобразованные случайные величины теперь равны

но они не независимы и не имеют равномерного распределения, а их распределение, вообще говоря, будет зависеть как от гипотетического распределения так и от истинных значений его параметров, как было показано Дэвидом и Джонсоном (1948). Однако (см. упражнение 30.10) если F имеет только параметры сдвига и масштаба и их оценки в должном смысле инвариантны, то распределение будет зависеть от формы но не от его параметров. Следовательно, при конечных никакая статистика критерия, основанная на не может быть свободной от распределения в случае сложной гипотезы согласия (хотя она может быть свободной от параметров, если имеются только параметры сдвига и масштаба). Разумеется, такая статистика по-прежнему может быть асимптотически свободной от распределения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление