Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Знаки отклонений

30.33 Рассмотрим, какого поведения отклонений наблюденных частот от гипотетических следует ожидать в некоторых простых случаях. Предположим, что простая гипотеза задает непрерывное унимодальное распределение с параметрами сдвига и масштаба, равнымн, скажем, среднему и стандартному отклонению, и предположим, что гипотетическое среднее слишком велико. Для любого набора классов вероятности будут очень малы при малых значениях варианты, а затем очень велики, как показано на рис. 30.1. Поскольку при больших выборках наблюдаемые относительные частоты будут сходиться по вероятности к истинным вероятностям, характерным поведением наблюдаемых отклонений будет серия положительных отклонений, за которой следует серия отрицательных. Если гипотетическое среднее слишком мало, то характер поведения будет обратным.

Рис. 30.1. Гипотетическое и истинное распределения, отличающиеся сдвигом.

Предположим теперь, что гипотетическое значение параметра масштаба слишком мало. Тогда картина будет такой, как на рис. 30.2. Мы видим, что характерным поведением отклонений при больших выборках теперь будет серия положительных отклонений, за ней — серия отрицательных и за ней — серия положительных. Если гипотетический параметр масштаба слишком велик, то все эти знаки меняются на обратные.

Рис. 30.2. Гипотетическое и истинное распределения, отличающиеся масштабом.

Разумеется, мы не применяем критерий зная, что возможны лишь изменения в сдвиге и масштабе, так как тогда мы можем найти более мощные критерии. Однако, когда возможна ошибка как в параметре сдвига, так и в параметре масштаба, рис. 30.3 показывает, что ситуация остается по существу той же самой; мы по-прежнему будем иметь три (или в более сложных случаях несколько больше) серии знаков отклонений. Более общим образом, если истинные значения параметров отличаются от гипотетических или если форма распределения отличается

«гладко» от гипотетической формы, мы ожидаем, что знаки отклонений будут собираться в подобного рода группы, а не распределяться случайно, как это было бы, если бы гипотетические вероятности совпадали с истинными.

30.34 Это наблюдение наводит на мысль дополнить критерий критерием числа серий знаков наблюдений, в котором малые числа образуют критическую область. Элементарная теория серий, необходимая для этой цели, дается как упражнение 30.8. Однако для ее корректного применения мы должны сначала исследовать взаимосвязь между критерием «серий» и критерием Дэвид (1947), Сил (1948) и Фрэзер (1950) показали, что, когда справедлива Но, эти критерии асимптотически независимы (см. упражнение 30.7) и что при проверке простой гипотезы все последовательности знаков равновероятны, так что теория из упражнения 30.8 может быть скомбинирована с критерием как указано в упражнении 30.9.

Дополнение критерием «серий», по-видимому, полезно для повышения чувствительности, когда проверяется простая гипотеза, как было показано выше, при иллюстративном обсуждении. Для сложной гипотезы, представляющей в связи с критериями согласия особый интерес, когда все параметры должны оцениваться по выборке, оно не имеет практического значения, так как последовательности знаков отклонений, хотя и независимы от уже не равновероятны, как было в случае простой гипотезы, и теория из упражнения 30.8, следовательно, неприменима (см. Фрэзер (1950)).

Рис. 30.3. Гипотетическое и истинное распределения, отличающиеся сдвигом и масштабом.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление