Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Семиинварианты одной МП-оценки

18.19 Холдейн и Смит (1956) получили, при некоторых условиях регулярности, выражения для первых четырех семиинвариантов МП-оценки в следующей ситуации. Предположим, что область определения распределения, из которого производится выбор, разбита на счетное число классов и вероятность попадания наблюдения в класс равна Мы сводим, таким образом, любое распределение к мультиноминальному (5.30), и если область определения исходного распределения не зависит от параметра то мы можем искать решения уравнения правдоподобия (18.5). Поскольку вероятности являются функциями от 0, то из (5.78) получим

где число наблюдений в классе и объем выборки. Согласно (18.36) уравнение правдоподобия можно записать в виде

где штрих означает дифференцирование по 0. Разлагая по формуле Тейлора в окрестности истинного значения получим

Подстановка (18.38) в (18.37), биномиальное разложение и суммирование полученных рядов приводят к разложению

ЗС,

В (18.39) использованы следующие обозначенияа

При больших можно применить теорему Лагранжа и обра тить (18.39), что дает

(18.40) позволяет нам получить моменты в виде рядов по степеням

18.20 Рассмотрим выборочное распределение суммы

где произвольные постоянные веса. Используя формулы для моментов мультиномиального распределения (см. (5.80)) и обозначая получаем моменты

Отсюда можно получить выражения для моментов и смешанных моментов случайных величин фигурирующих в (18.40), поскольку все они являются функциями вида Наконец, подставляя эти моменты в (18.40), мы получим моменты 0. Выражая через них семиинварианты, находим

откуда

Первый семиинвариант в (18.42) показывает, что имеет смещение порядка если Если то смещение имеет порядок что можно показать, вычисляя следующий член в разложении первого семиинварианта. Главный член во втором семиинварианте есть просто асимптотическая дисперсия, полученная в 18.16. (18.43) показывает скорость установленной в 18.16 сходимости к нормальному закону.

Если вычислить все члены в (18.42) и получить затем несмещенные оценки первых четырех моментов 0, то можно с помощью распределения Пирсона (см. 6.2-12) приблизить распределение 8 при малых объемах выборок. Это приближение было бы лучше, чем нормальное приближение, полученное в 18.16.

Шентоном и Боумэном (1963) были получены члены более высокого порядка в

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление