Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Состоятельность и несмещенность критерия «хи-квадрат»

30.25 Равенства (30.49) и (30.50) достаточны, чтобы показать состоятельность -критерия с равными вероятностями. Действительно, критерий состоит в сравнении значения с фиксированным критическим значением, скажем на верхнем «хвосте» своего распределения. Когда справедлива гипотеза среднее и дисперсия имеют порядок . По неравенству Чебышева (3.95)

Поскольку фиксировано, оно отличается от на величину порядка так что если нас интересует вероятность того, что отличается от своего среднего настолько, чтобы попасть ниже то множитель X в левой части (30.51) должен быть порядка следовательно, правая часть имеет порядок Таким образом,

и критерий состоятелен против любой альтернативы задающей неравные вероятности классов.

Общий -критерий с неравными также состоятелен против альтернатив, задающих хотя бы одно что понятно интуитивно. Доказательство было дано Нейманом (1949).

30.26 Хотя -критерий состоятелен (и, следовательно, асимптотически несмещен), нет оснований ожидать, что он будет несмещенным в общем случае против близких альтернатив при малых Однако Манн и Вальд (1942) показали, что критерий с равными вероятностями является локально несмещенным. Обозначим мощность критерия и разложим в ряд Тейлора с значениями в качестве аргументов. Мы имеем тогда

где все производные берутся в точке ( отвечающей гипотезе Для критерия размера а

Далее, поскольку симметричная функция аргументов все равны между собой в точке и то же верно для Мы можем, следовательно, переписать (30.52) в виде

Далее,

Поэтому выражение (30.53) равно

Мы можем найти значения производных второго порядка в (30.54) непосредственно из точного выражения для мощности

Поскольку мы находим из (30.55)

где и суммирование всюду, где это не

указано, производится по критической области которая в силу выражения (30.44) для имеет вид

Величина есть усреднение по критической области, и оно должно превосходить среднее значение по всей совокупности, равное в силу (30.45). Таким образом,

где Точно такими же рассуждениями, поскольку положительно, мы получаем

где Кроме того, мы, очевидно, имеем в (30.57) и (30.58)

В силу симметрии мы имеем

Пользуясь (30.57) — (30.60), получаем из (30.56)

Таким образом, второй член в правой части (30.54) положителен. Члены высших порядков, отброшенные в (30.54), содержат в третьей и более высоких степенях и вблизи о будут, следовательно, меньше по модулю, чем член второго порядка. Таким образом, а вблизи и критерий с равными вероятностями локально несмещен, что служит рекомендацией для этой процедуры образования классов, так как никаких результатов такого рода для критерия в общем случае неизвестно.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление