Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Моменты статистики критерия «хи-квадрат»

30.24 Мы предполагаем, как прежде, что при гипотезе имеются гипотетические вероятности так что статистикой является, как в (30.8),

Мы ограничимся простой гипотезой. Предположим теперь, что истинные вероятности равны Тогда математическое ожидание статистики критерия равно

По формуле (5.80) для моментов мультиномиального распределения

откуда

Когда справедлива гипотеза это сводится к

Это точный результат, об асимптотической справедливости которого нам уже известно, так как тогда распределена как Если мы продифференцируем (30.46) по подчиненным условию мы найдем, что при достигает минимума, когда Для любой гипотезы задающей набор вероятностей мы, следовательно, имеем асимптотически

Как и асимптотические рассуждения, основанные на статистике ОП в 30.6, (30.48) указывает, что критическая область для

-критерия состоит из больших значений, хотя это и не является окончательным аргументом, так как при гипотезе уже не имеет асимптотического распределения На самом деле этим распределением будет при условиях, даваемых далее в 30.27, нецентральное распределение

Даже дисперсия сравнительно сложно зависит от (см. упражнение 30.5). Однако в случае равных вероятностей асимптотическая дисперсия заметно упрощается, и мы находим (доказательство оставляем читателю в качестве упражнения 30.3)

Из (30.46) мы имеем также в случае равных вероятностей

Выражение (30.50) больше, чем при любом .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление