Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Влияние оценивания на распределение «хи-квадрат»

30.11 Мы можем теперь, следуя Ватсону (1959), рассматривать общую задачу о влиянии оценивания неизвестных параметров на асимптотическое распределение статистики Мы ограничимся случаем, когда выполнено (30.12), и для любой оценки параметра запишем

где А — произвольная матрица вектор элементом

определяемым так же, как в (30.16) для случая простой гипотезы; мы предполагаем, что А выбрана так, чтобы

Из (30.18) и (30.20) сразу следует, что матрица рассеяния имеет порядок Применяя разложение Тейлора к в (30.9), мы можем написать

где при

или, в матричной форме,

где В — матрица элементом

Подставляя (30.18) в (30.21), мы находим, что

30.12 В силу уравнения имеют нулевые средние. Согласно многомерной центральной предельной теореме при они имеют в пределе многомерное нормальное распределение, и их матрица рассеяния равна, если обозначить временно через

где вектор элементом Из (30.23) и (30.24) сразу следует, что также асимптотически нормальны с нулевыми средними и матрицей рассеяния

Таким образом, распределено асимптотически как сумма квадратов нормальных случайных величин с нулевыми средними и матрицей рассеяния (30.25). Как мы знаем из имеет распределение степенями свободы тогда и только тогда, когда идемпотентна и характеристических чисел ее равны единице, — нулю, так что ее след равен

30.13 Теперь мы рассмотрим частные случаи (30.25). Прежде всего, случай простой гипотезы, где не требуется никакой оценки, можно формально получить, полагая в (30.18). Тогда (30.25) становится равной просто

Так как Рог то, возводя матрицу ( в квадрат, мы видим, что она идемпотентна и ее след равен Таким образом, в этомслучае имеет распределение как мы уже знаем из двух других доказательств.

30.14 Случай сложной гипотезы уже не столь прост. Предположим сначала, как в 30.10, что используются мультиномиальные МП-оценки 0. Мы ищем вид матрицы А в (30.8), когда Из 18.26 мы знаем, что матрица, обратная к матрице рассеяния 0, имеет асимптотически элементы

Согласно (30.17) мультиномиальные уравнения МП дают

Беря математические ожидания в (30.28), мы находим

Второй член в правой части (30.29) обращается в нуль, так как он равен Таким образом, пользуясь (30.22), имеем

так что из (30.27)

или

Но из (30.18) и (30.24) мы имеем

Здесь (30.30) и (30.31) — два различных выражения для одной и той же матрицы.

Чтобы найти А так, чтобы выполнялось (30.30), заметим, что

так как элемент этого -вектора равен следовательно, если где симметрична и невырождена, то (30.31) дает Если это должно быть равно (30.30), то мы имеем, очевидно, и окончательно

в случае мультиномиальной МП-оценки. Тогда, пользуясь (30.32), приводим (30.25) к виду

Возведением в квадрат можно показать, что эта матрица идемпотентна. Ее ранг равен ее следу, кбторый, как в 19.9, дается

формулой

и в силу 30.13 это равно

Таким образом, имеет асимптотически распределение как мы видели в 30.10.

30.15 Применяемый сейчас подход дает нам возможность дальнейшего исследования: что случится с асимптотическим распределением статистики если применять какие-нибудь оценки, отличные Этот вопрос был впервые рассмотрен в простейшем случае Фишером (1928b). Чернов и Леман (1954) рассмотрели случай, представляющий особый интерес, когда применяются МП-оценки, основанные на индивидуальных наблюдениях, а не мультиномиальные МП-оценки 0, основанные на частотах которые мы рассматривали до сих пор. Если мы имеем значения наблюдений, то ясно, что использование этого знания при оценке дает эффективную процедуру даже если мы в критерии согласия собираемся пользоваться лишь частотами классов. Мы, однако, увидим, что статистика полученная таким образом, уже не имеет асимптотически распределения

30.16 Вернемся к общему выражению (30.25) для матрицы рассеяния. Произведя умножение, мы перепишем его в виде

Вместо того, чтобы находить характеристические числа матрицы мы рассмотрим характеристические числа матрицы равные Мы запишем эту матрицу в виде

После подстановки (30.31) (30.36) может быть переписано в виде произведения двух блочных матриц:

Матрицы в правой части можно переставить, не изменяя ненулевых характеристических чисел. При этом их произведение из матрицы становится матрицей которую, пользуясь (30.30) и (30.32), приводим к виду

Одно из характеристических чисел матрицы (30.37) равно единице, остальных являются характеристическими числами матрицы выделенной в ее правом нижнем углу. Если как почти всегда бывает в приложениях, то отсюда следует, что (30.36) имеет нулевых характеристических чисел, одно, равное единице, остальных являются характеристическими числами Таким образом, для самой матрицы мы имеем характеристических чисел, равных единице, одно нулевое и являющихся дополнениями до единицы характеристических чисел матрицы

30.17 Мы рассмотрим теперь задачу, введенную в 30.15. Предположим, что для оценки мы пользуемся МП-оценкой, основанной на индивидуальных наблюдениях, которую мы будем называть «обычной МП-оценкой» и обозначать Мы знаем из 18.26, что если функция плотности наблюдений, то мы имеем асимптотически

и элементы являются корнями уравнения

где теперь — обычная (не мультиномиальная) функция правдоподобия. Таким образом, если -истинное значение, то мы имеем разложение Тейлора

и, как в 18.26, получаем пользуясь (30.38), что асимптотически

где — вектор истинных значений. Поскольку обе совокупности МП-оценок состоятельны, будет в первом приближении эквивалентно выражению которое вследствие (30.22) равно

и мы можем записать это в обозначениях (30.19) как

Таким образом, (30.39) принимает вид

и сравнение (30.40) с (30.18) показывает, что здесь

30.18 Матрица рассеяния (30.25) теперь принимает вид

откуда, пользуясь (30.31), (30.32) и (30.41), получаем

Матрица (30.42) не идемпотентна, что проверяется возведением ее в квадрат. Кроме того, все три матрицы в правой части неотрицательно определены, и мы можем записать

где неотрицательно определена, так как матрица рассеяния асимптотически эффективных обычных МП-оценок, матрица рассеяния мультиномиальных МП-оценок, каждый из диагональных элементов которой не может быть меньше соответствующего элемента Таким образом, (30.42) может быть записано как

Первые два члена в правой части (30.43) — это то, что мы получили в (30.26) для случая, где не производится никакой оценки, когда характеристических чисел равны единице и одно равно нулю. Первые три члена дают (30.34), где при применении мультиномиальных МП-оценок имеет характеристических чисел, равных единице, и нулевых. Вследствие неотрицательной определенности всех членов приведение (30.43) к каноническому виду показывает, что характеристические числа (30.43) ограничены соответствующими характеристическими числами (30.26) и (30.34). Таким образом, характеристических чисел матрицы (30.43) равны единице, одно нулю и заключены между нулем и единицей, как установлено Черновым и Леманом (1954).

Из того факта, что при возрастании две совокупности МП-оценок и сближаются между собой, так что следует, что последние характеристических чисел стремятся к нулю при

30.19 Итак, результат, который мы получили, состоит в том, что не имеет асимптотически -распределения, когда для оценки параметров используются вполне эффективные оценки (обычного максимального правдоподобия). Однако распределение заключено между и и при возрастании они становятся столь близки между собой, что различием можно пренебречь, — это другое выражение для заключительного утверждения в 30.18. Но при малых использование распределения для проверки гипотез может привести к серьезной

ошибке, так как вероятность превышения любого данного чения будет больше, чем мы предполагаем, редко бывает больше, чем 1 или 2, но при использовании обычной МП-опенки полезно убедиться, что превышает оба критических значения Для Таблицы распределения показывают, что для критерия с уровнем значимости критическое значение при степенях свободы превышает критическое значение при степенях свободы, если мало, приблизительно на где С убывает от примерно 1,5 при до примерно 1,2 при При соответствующие значения С равны приближенно 1,7 и 1,3.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление