Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Сложная гипотеза H0

30.8 Ограничиваясь теперь статистикой критерия Пирсона (30.5), мы рассмотрим ситуацию, возникающую, когда проверяемая гипотеза сложна — критерий ОП остается асимптотически эквивалентным, когда верна (см. упражнение 30.11).

Предположим, что известна функциональная форма но что некоторые (или, возможно, все) параметры остаются неизвестными, как в (б) или (в) пункта 30.2. Новым в мультиномиальной формулировке пункта 30.4 является теперь то, что теоретические вероятности не поддаются непосредственному вычислению, так как они зависят от по предположению) неизвестных параметров совокупность которых мы обозначим 0. Таким образом, мы должны записывать их как Чтобы двигаться дальше, мы должны оценить некоторым вектором оценок и использовать (30.5) в форме

Ясно, что это меняет задачу о распределении статистики, так как теперь сами являются случайными величинами, и совсем не очевидно, что асимптотическое распределение будет иметь ту же форму, что и в случае простой гипотезы Действительно, член не обязательно имеет нулевое математическое ожидание. Мы можем тождественно переписать как

Из теории мультиномиального распределения мы знаем, что асимптотически

так что первый член в квадратных скобках в (30.9) имеет поря Если мы имеем также

то второй и третий члены будут меньшего порядка, чем и будут асимптотически пренебрежимы, так что асимптотическое поведение выражения (30.9) определяется тогда его первым членом. Однако - это выражение содержит еще случайную величину в знаменателе, но с той же степенью приближения мы можем заменить ее на Мы видим, таким образом, что если выполняется (30.10), то статистика (30.9) ведет себя асимптотически точно так же, как она имеет распределение степенями свободы. Однако, если «хорошо ведут себя» как функции от то их отличие от

будет того же порядка, что и отличие от 0. Тогда во всех практических ситуациях (30.10) требует, чтобы

Соотношение (30.11), как правило, не выполняется, так как мы обычно имеем оценки с дисперсиями и ковариациями порядка и тогда

В этом «регулярном» случае, следовательно, приведенное выше рассуждение теряет силу. Но оно остается в силе в тех случаях, когда оценки имеют дисперсии порядка что, как мы видели, характерно для оценок параметров, определяющих граничные точки области значений случайной величины (см. примеры 14.8, 14.13 и 32.11). В таких случаях, следовательно, для применения (30.8) не требуется никакой новой теории. Более распространенный случай, когда выполнено (30.12), требует дальнейшего исследования.

30.9 Чтобы упростить наше обсуждение, мы приведем сначала иной вывод асимптотического распределения (30.5) в случае простой гипотезы, принадлежащий Фишеру (1922а).

Предположим, что имеются независимых пуассоновских случайных величин, из которых имеет параметр Вероятность того, что первая величина примет значение вторая равна

Рассмотрим теперь условную вероятность наблюдения этих значений при фиксированной их сумме Сумма независимых пуассоновских случайных величин сама имеет распределение Пуассона с параметром пример 11.11).

Таким образом, вероятность того, что эта сумма равна есть

Теперь мы можем получить требуемую условную вероятность:

Мы видим, что (30.15) есть в точности мультиномиальное распределение величин на которых основана наша процедура. Таким образом, в качестве альтернативы к выводу асимптотического распределения данному в примере 15.3 (см. 30.5), мы можем получить это распределение, рассматривая как значения независимых пуассоновских случайных величин с параметрами лрог, подчиненных условию Согласно примеру 4.9 нормированная величина

асимптотически нормальна при Следовательно, при

представляет собой сумму квадратов независимых нормальных величин, подчиненных единственному условию , что эквивалентно условию Следовательно, согласно примеру имеет асимптотически распределение степенями свободы.

30.10 Польза этого второго доказательства состоит в том, что в совокупности с примером 11.6, на который мы ссылались, оно ясно показывает, что если наложить дополнительно однородных линейных условий на то все влияние этого на асимптотическое распределение будет заключаться в уменьшении числа степеней свободы с до

Вернемся теперь к сложной гипотезе п. 30.8 в случае, когда выполняется (30.12). Предположим, что мы выбрали в качестве нашей совокупности оценок параметра оценки максимального правдоподобия (или другие эквивалентные асимптотически эффективные оценки), так что В этом случае функция правдоподобия есть просто мультиномиальное распределение (30.15), рассматриваемое как функция от которых зависят Таким образом,

и МП-оценки в этом регулярном случае — это корни уравнений, получаемых приравниванием (30.17) к нулю при каждом Ясно, что каждое такое уравнение есть однородное линейное соотношение между Мы, таким образом, видим, что в этом регулярном случае имеются дополнительных ограничений,

налагаемых процессом эффективного оценивания параметра в мультиномиального распределения, так что статистика (30.8) имеет асимптотически распределение степенями свободы. Более строгое и подробное доказательство дается в книге Крамера (1946), см. также Берч (1964b). Мы будем называть мультиномиальной МП-оценкой.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление