Главная > Разное > Статистические выводы и связи, Т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Критерии отношения правдоподобия и Пирсона для простой гипотезы H0

30.4 Эти два известных метода проверки согласия используют очень простой прием. Мы рассмотрим его сначала в том случае, когда полностью определена, так что гипотеза (30.1) проста.

Предположим, что область значений величины х произвольным образом разбита на взаимно непересекающихся классов. (На практике они обычно выбираются как последовательные

интервалы в области значений х, хотя это и не обязательно). Тогда, поскольку известна, мы можем вычислить вероятности попадания наблюдения в каждый из классов. Если значить их а наблюденные частоты в классах через то имеют мультиномиальное распределение (см. 5.30), и из (5.78) мы видим, что функция правдоподобия равна

С другой стороны, если истинная функция распределения есть где может быть любой ф. р., мы можем обозначить вероятности в классах через и ФП тогда будет равна

Теперь мы легко можем иайти критерий отношения правдоподобия для гипотезы (30.1) при сложной альтернативной гипотезе

Функция правдоподобия (30.3) достигает максимума, когда мы подставляем вместо МП-оценки Статистикой ОП для проверки против будет, следовательно,

Гипотеза Но отвергается, если значение достаточно мало. Точное распределение статистики (30.4) неизвестно. Однако мы знаем из 24.7, что если верна то при величина распределена асимптотически как степенями свободы (так как имеется независимых ограничений поскольку

30.5 Однако (30.4) — это не та классическая статистика критерия, которая была предложена Карлом Пирсоном (1900) для этой ситуации. В этой процедуре, которая была уже получена в примере 15.3, используется асимптотическая -мерная нормальность мультиномиального распределения величин и тот факт, что при гипотезе квадратичная форма в показателе

этого нормального распределения имеет распределение с числом степеней свободы, равным ее рангу В примере 15.3 мы нашли, что эта квадратичная форма в используемых теперь обозначениях равна

Уайз (1963, 1964) исследовал ошибку приближения, возникающего, когда (30.5) считают распределенной как и показал, что ошибка особенно мала, когда равны или близки между собой, — тогда можно не требовать, чтобы они были большими (см. 30.22, 30.30 для сложной гипотезы Из (30.4) мы имеем

Таким образом, эти две различные статистики (30.5) и (30.6) имеют асимптотически одинаковое распределение при Более того, когда верна эти статистики асимптотически эквивалентны, так как если мы обозначим то

и поскольку

При малых эти статистики различаются. Статистика Пирсона (30.5) может быть преобразована к виду

более простому для вычислений; но запись (30.5) имеет перед (30.8) то преимущество, что в ней явно фигурируют разности между наблюденными частотами гц и их гипотетическими ожиданиями и сами эти разности, очевидно, представляют интерес. Соответствующее упрощение (30.6) неудобно для вычислений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление